1 - Functions

នព្វន្ត Function Advanced

ការស្វែងយល់ស៊ីជម្រៅអំពីអនុគមន៍ និងក្រាប

តើអ្វីជាអនុគមន៍?

ជាគោលការណ៍ អ្នកអាចគិតពីអនុគមន៍ថាជា ម៉ាស៊ីនមួយ។ អ្នកដាក់ ធាតុចូល (Input) មួយចូលទៅក្នុងម៉ាស៊ីន ហើយម៉ាស៊ីននឹងដំណើរការតាមច្បាប់ដែលបានកំណត់ រួចផ្តល់ លទ្ធផល (Output) តែមួយគត់មកវិញ។

• ធាតុចូល (Input)៖ ជាទូទៅយើងតាងដោយអញ្ញត្តិ $x$ ។
• ច្បាប់ (Rule)៖ គឺជាកន្សោមគណិតវិទ្យាដែលកំណត់ពីទំនាក់ទំនងរវាងធាតុចូល និងលទ្ធផល។
• លទ្ធផល (Output)៖ ជាទូទៅយើងតាងដោយ $y$ ឬ $f(x)$ (អានថា អែហ្វនៃអ៊ិច)។

លក្ខខណ្ឌសំខាន់បំផុត៖ សម្រាប់ធាតុចូល ($x$) មួយ ត្រូវតែមានលទ្ធផល ($y$) តែមួយគត់។

• ដែនកំណត់ (Domain)៖ សំណុំនៃតម្លៃ $x$ ទាំងអស់ដែលអាចដាក់ចូលក្នុងអនុគមន៍បាន។
• សំណុំតម្លៃ (Range)៖ សំណុំនៃតម្លៃ $y$ ទាំងអស់ដែលទទួលបានពីអនុគមន៍។

១. អនុគមន៍លីនេអ៊ែរ (Linear Functions)

ក. តើវាជាអ្វី? អនុគមន៍លីនេអ៊ែរ គឺជាអនុគមន៍ដឺក្រេទីមួយ។ ឈ្មោះរបស់វាបានមកពីក្រាបរបស់វា ដែលជា បន្ទាត់ត្រង់ (Straight Line)។ ទម្រង់មេគុណប្រាប់ទិស-ចំណោល (Slope-Intercept Form)៖ $y=mx+b$

ខ. លក្ខណៈសំខាន់ៗ

• $m$ - មេគុណប្រាប់ទិស (Slope)៖ នេះគឺជាលក្ខណៈសំខាន់បំផុត។ វាប្រាប់យើងពី អត្រាបម្រែបម្រួលថេរ (Constant Rate of Change) របស់អនុគមន៍។
  • បើ $m=2$ មានន័យថា រាល់ពេល $x$ កើនឡើង ១ ឯកតា, $y$ នឹងកើនឡើង ២ ឯកតា។
  • បើ $m=-3$ មានន័យថា រាល់ពេល $x$ កើនឡើង ១ ឯកតា, $y$ នឹងថយចុះ ៣ ឯកតា។
  • បើ $m=0$ បន្ទាត់គឺដេកស្របនឹងអ័ក្ស x (បន្ទាត់ផ្តេក)។
• $b$ - ចំណោលអ័ក្ស y (y-intercept)៖ នេះគឺជា តម្លៃចាប់ផ្តើម (Starting Value) ឬជាចំណុចដែលបន្ទាត់កាត់អ័ក្ស y ។ កូអរដោនេរបស់វាគឺ $(0,b)$ ។

គ. ការសង់ក្រាប ការសង់ក្រាបនៃអនុគមន៍លីនេអ៊ែរគឺងាយស្រួល និងត្រូវការតែពីរជំហាន៖

1. គូសចំណុចចាប់ផ្តើម៖ រកតម្លៃ $b$ នៅលើអ័ក្ស y ហើយគូសចំណុច $(0,b)$ ។
2. ប្រើមេគុណប្រាប់ទិសដើម្បីរកចំណុចទីពីរ៖ ចាប់ពីចំណុច $(0,b)$ ប្រើរូបមន្ត $m=\frac{\text{កម្ពស់ (Rise)}}{\text{បាត (Run)}}$ ។
   • ឧទាហរណ៍៖ សម្រាប់ $y=2x-1$
     • $m=2=\frac{2}{1}$ (ឡើងលើ ២, ទៅស្តាំ ១)
     • $b=-1$
     • ជំហានទី១៖ គូសចំណុច $(0,-1)$ ។
     • ជំហានទី២៖ ពីចំណុចនោះ ឡើងលើ ២ ឯកតា និងទៅស្តាំ ១ ឯកតា នោះយើងនឹងបានចំណុចថ្មីគឺ $(1,1)$ ។
     • ជំហានទី៣៖ គូសបន្ទាត់ត្រង់មួយកាត់តាមចំណុចទាំងពីរនេះ។

ឃ. ឧទាហរណ៍ក្នុងជីវភាពពិត

• ថ្លៃសេវាទូរសព្ទ៖ $y=0.10x+15$ ដែល $x$ ជាចំនួននាទីដែលបានហៅចេញ ហើយ $y$ ជាតម្លៃសរុប (១៥ ជាតម្លៃសេវាប្រចាំខែ, ០.១០ ជាតម្លៃក្នុងមួយនាទី)។
• ការធ្វើដំណើរ៖ $y=50x$ ដែល $x$ ជាពេលវេលាធ្វើដំណើរ (ម៉ោង) ហើយ $y$ ជាចម្ងាយសរុប (គ.ម) ដែលធ្វើដំណើរបានក្នុងល្បឿនថេរ ៥០ គ.ម/ម៉។

ង. លំហាត់អនុវត្តន៍

1. ចូរគូសក្រាបនៃអនុគមន៍ $y=-3x+4$ ។ តើអត្រាបម្រែបម្រួលរបស់វាជាអ្វី?
2. ក្រុមហ៊ុនជួលរថយន្តមួយគិតថ្លៃ ២៥ ដុល្លារសម្រាប់ការជួលដំបូង និង ០.៥០ ដុល្លារសម្រាប់រាល់គីឡូម៉ែត្រដែលបើកបរ។ ចូរសរសេរសមីការលីនេអ៊ែរតំណាងឱ្យតម្លៃសរុប ($y$) ធៀបនឹងចំនួនគីឡូម៉ែត្រ ($x$) ។

២. អនុគមន៍ដឺក្រេទីពីរ (Quadratic Functions)

ក. តើវាជាអ្វី? អនុគមន៍ដឺក្រេទីពីរ គឺជាអនុគមន៍ដែលអញ្ញត្តិមានដឺក្រេខ្ពស់បំផុតគឺ ២។ ក្រាបរបស់វាមានរាងជាខ្សែកោងមួយដែលគេហៅថា ប៉ារ៉ាបូល (Parabola)។ ទម្រង់ស្តង់ដារ៖ $y=a{x}^2+bx+c(a\ne 0)$

ខ. លក្ខណៈសំខាន់ៗ

• អត្រាបម្រែបម្រួលមិនថេរ៖ ខុសពីអនុគមន៍លីនេអ៊ែរ អត្រាបម្រែបម្រួលរបស់ប៉ារ៉ាបូលគឺប្រែប្រួលជានិច្ច (ជម្រាលប្រែប្រួល)។
• $a$ - មេគុណនាំមុខ (Leading Coefficient)៖ តម្លៃ $a$ ប្រាប់យើងពីលក្ខណៈសំខាន់ពីរ៖
  • ទិសដៅ៖
    • បើ $a>0$, ប៉ារ៉ាបូល បើកឡើងលើ (រាងដូចចាន) ហើយមាន តម្លៃអប្បបរមា (minimum value) ។
    • បើ $a<0$, ប៉ារ៉ាបូល ផ្កាប់ចុះក្រោម (រាងដូចភ្នំ) ហើយមាន តម្លៃអតិបរមា (maximum value) ។
  • ទទឹង៖
    • បើ $|a|>1$, ប៉ារ៉ាបូលកាន់តែ ចង្អៀត ។
    • បើ $0<|a|<1$, ប៉ារ៉ាបូលកាន់តែ ធំទូលាយ ។
• កំពូល (Vertex)៖ ជាចំណុចដែលប៉ារ៉ាបូលប្តូរទិស។ វាជាចំណុចអប្បបរមា ឬអតិបរមា។
  • កូអរដោនេ $x$ នៃកំពូលគឺ៖ $x=-\frac{b}{2a}$

គ. ការសង់ក្រាប

1. កំណត់ទិសដៅ៖ មើលសញ្ញារបស់ $a$ (បើកឡើងលើ ឬផ្កាប់ចុះក្រោម)។
2. រកកំពូល (Vertex)៖
   • គណនា $x_{\text{កំពូល}}=-\frac{b}{2a}$ ។
   • ជំនួសតម្លៃ $x$ នេះចូលក្នុងសមីការដើមដើម្បីរក $y_{\text{កំពូល}}$ ។
3. រកចំណោលអ័ក្ស y៖ ឱ្យ $x=0$ នោះ $y=c$ ។ ចំណុចគឺ $(0,c)$ ។
4. រកចំណោលអ័ក្ស x (Roots/Zeros)៖ ឱ្យ $y=0$ រួចដោះស្រាយសមីការ $a{x}^2+bx+c=0$ (ដោយប្រើការដាក់ជាផលគុណកត្តា ឬរូបមន្តដឺក្រេទីពីរ)។ អ្នកអាចមានចំណោល ០, ១, ឬ ២ ។
5. គូសក្រាប៖ គូសចំណុចកំពូល និងចំណោលដែលរកបាន រួចគូសខ្សែកោងប៉ារ៉ាបូលស៊ីមេទ្រីកាត់តាមកំពូល។

ឃ. ឧទាហរណ៍ក្នុងជីវភាពពិត

• ផ្លោងវត្ថុ៖ គន្លងនៃបាល់ដែលគេបោះ ឬទាត់ គឺជាប៉ារ៉ាបូល។ សមីការអាចជួយរកកម្ពស់អតិបរមា និងចម្ងាយដែលវាធ្លាក់ដល់ដី។
• ការបង្កើនប្រសិទ្ធភាព៖ ក្រុមហ៊ុនអាចប្រើអនុគមន៍ដឺក្រេទីពីរដើម្បីរកតម្លៃលក់ដែលផ្តល់ប្រាក់ចំណេញអតិបរមា។
• ស្ថាបត្យកម្ម៖ រូបរាងនៃស្ពានខ្សែកាប ឬចានអង់តែនផ្កាយរណប គឺជារាងប៉ារ៉ាបូល។

ង. លំហាត់អនុវត្តន៍ សម្រាប់អនុគមន៍ $y=x^2-6x+5$៖ ក. តើប៉ារ៉ាបូលបើកឡើងលើ ឬផ្កាប់ចុះក្រោម? ខ. ចូររកកូអរដោនេនៃកំពូល។ គ. ចូររកចំណោលអ័កษ y និងអ័កษ x ។ ឃ. ចូរសង់ព្រាងក្រាបរបស់វា។

៣. អនុគមន៍ដឺក្រេទីបី (Cubic Functions)

ក. តើវាជាអ្វី? អនុគមន៍ដែលអញ្ញត្តិមានដឺក្រេខ្ពស់បំផុតគឺ ៣។ ក្រាបរបស់វាមានរាងជា “S”។ ទម្រង់ស្តង់ដារ៖ $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d(a\ne 0)$

ខ. លក្ខណៈសំខាន់ៗ

• លក្ខណៈនៅចុងក្រាប (End Behavior)៖ ក្រាបនៃអនុគមន៍ដឺក្រេទីបីតែងតែទៅទិសផ្ទុយគ្នានៅចុងសងខាង។
  • បើ $a>0$ (វិជ្ជមាន)៖ ក្រាប ចាប់ផ្តើមពីក្រោម (ឆ្វេង) ហើយឡើងទៅលើ (ស្តាំ) ។ (ដូច $y=x^3$)
  • បើ $a<0$ (អវិជ្ជមាន)៖ ក្រាប ចាប់ផ្តើមពីលើ (ឆ្វេង) ហើយចុះទៅក្រោម (ស្តាំ) ។ (ដូច $y=-x^3$)
• ចំណុចបត់ (Turning Points)៖ ក្រាបអាចមានចំណុចបត់រហូតដល់ ពីរ ដែលបង្កើតបានជា “កំពូលក្នុងតំបន់ (local maximum)” និង “បាតក្នុងតំបន់ (local minimum)” ។
• ឫស (Roots)៖ ក្រាបត្រូវតែកាត់អ័ក្ស x យ៉ាងហោចណាស់ ម្តង ហើយអាចកាត់រហូតដល់ បីដង ។

គ. ការសង់ក្រាប (ជាមូលដ្ឋាន) ការសង់ក្រាបលម្អិតទាមទារកាល់គុលុស (ដេរីវេ)។ សម្រាប់ពេលនេះ យើងអាចគូសព្រាងដោយ៖

1. កំណត់លក្ខណៈនៅចុងក្រាប៖ មើលសញ្ញារបស់ $a$ ។
2. រកចំណោលអ័ក្ស y៖ ឱ្យ $x=0$ នោះ $y=d$ ។ ចំណុចគឺ $(0,d)$ ។
3. រកឫស (x-intercepts)៖ ឱ្យ $y=0$ រួចដោះស្រាយ $a{x}^3+...+d=0$ ។ នេះអាចពិបាក ប៉ុន្តែបើអាចដាក់ជាផលគុណកត្តាបាន វានឹងជួយបានច្រើន។
4. គូសព្រាង៖ គូសចំណុចដែលរកបាន រួចគូសខ្សែកោងរាងអក្សរ “S” ដែលមានលក្ខណៈនៅចុងក្រាបត្រឹមត្រូវ។

ឃ. ឧទាហរណ៍ក្នុងជីវភាពពិត

• មាឌ៖ សមីការដែលទាក់ទងនឹងមាឌនៃប្រអប់ដែលមានការផ្លាស់ប្ដូរទំហំ (เช่น បត់ក្រដាសកាតុងធ្វើប្រអប់) ជាទូទៅជាសមីការដឺក្រេទីបី។
• គំរូសេដ្ឋកិច្ច៖ គំរូហិរញ្ញវត្ថុមួយចំនួនដែលបង្ហាញពីការកើនឡើងយ៉ាងឆាប់រហ័ស បន្ទាប់មកមានស្ថិរភាព ហើយបន្ទាប់មកអាចនឹងថយចុះ អាចត្រូវបានតំណាងដោយអនុគមន៍ដឺក្រេទីបី។

ង. លំហាត់អនុវត្តន៍ សម្រាប់អនុគមន៍ $y=-x^3+4x$: ក. ចូរពិពណ៌នាអំពីលក្ខណៈនៅចុងក្រាប។ ខ. ចូររកចំណោលអ័ក្ស y ។ គ. ដោយដាក់ $x(-x^2+4)=0$ ជាផលគុណកត្តា ចូររកឫស (x-intercepts) ទាំងអស់។

៤. អនុគមន៍សនិទាន (Rational Functions)

ក. តើវាជាអ្វី? អនុគមន៍សនិទាន គឺជា ផលធៀបនៃពហុធាពីរ។ និយាយឱ្យងាយ គឺវាមានទម្រង់ជាប្រភាគដែលមានអញ្ញត្តិនៅភាគបែង។ ទម្រង់ទូទៅ៖ $y=\frac{P(x)}{Q(x)}$ ដែល $P(x)$ និង $Q(x)$ ជាពហុធា ហើយ $Q(x)\ne 0$ ។

ខ. លក្ខណៈសំខាន់ៗ៖ អាស៊ីមតូត (Asymptotes) អាស៊ីមតូត គឺជាបន្ទាត់ដែលក្រាប ខិតទៅជិត ប៉ុន្តែមិនប៉ះ។ នេះជាលក្ខណៈពិសេសបំផុតរបស់អនុគមន៍សនិទាន។

• អាស៊ីមតូតឈរ (Vertical Asymptote)៖
  • កើតឡើងនៅត្រង់តម្លៃ $x$ ដែលធ្វើឱ្យ ភាគបែង $Q(x)=0$ (ប៉ុន្តែមិនធ្វើឱ្យភាគយក $P(x)=0$ ក្នុងពេលតែមួយ)។
  • ក្រាបនឹងស្ទុះឡើងទៅរក $\infty$ ឬធ្លាក់ចុះទៅរក $-\infty$ នៅក្បែរបន្ទាត់នេះ។ វាជា “ជញ្ជាំង” ដែលក្រាបមិនអាចឆ្លងបាន។
• អាស៊ីមតូតដេក (Horizontal Asymptote)៖
  • ពិពណ៌នាអំពីលក្ខណៈនៅចុងក្រាប (នៅពេល $x$ មានតម្លៃធំมากๆ ឬតូចมากๆ)។
  • ច្បាប់ងាយៗ (ប្រៀបធៀបដឺក្រេនៃ $P(x)$ និង $Q(x)$):
    1. បើដឺក្រេភាគយក < ដឺក្រេភាគបែង $⟹$ អាស៊ីមតូតដេកគឺ $y=0$ (អ័ក្ស x)។
    2. បើដឺក្រេភាគយក = ដឺក្រេភាគបែង $⟹$ អាស៊ីមតូតដេកគឺ $y=\frac{\text{មេគុណនាំមុខនៃភាគយក}}{\text{មេគុណនាំមុខនៃភាគបែង}}$ ។
    3. បើដឺក្រេភាគយក > ដឺក្រេភាគបែង $⟹$ គ្មានអាស៊ីមតូតដេកទេ។

គ. ការសង់ក្រាប (ជាមូលដ្ឋាន)

1. រកអាស៊ីមតូត៖ រកអាស៊ីមតូតឈរ (ឱ្យភាគបែង=0) និងអាស៊ីមតូតដេក (ប្រៀបធៀបដឺក្រេ)។ គូសបន្ទាត់ទាំងនេះជាបន្ទាត់ដាច់ៗ។
2. រកចំណោល៖
   • អ័ក្ស y: ឱ្យ $x=0$ ។
   • អ័ក្ស x: ឱ្យ $y=0$ (ដែលមានន័យថាឱ្យភាគយក $P(x)=0$) ។
3. គូសព្រាងក្រាប៖ គូសចំណុចដែលរកបាន។ ជ្រើសរើសតម្លៃ $x$ មួយចំនួននៅក្នុងតំបន់នីមួយៗដែលត្រូវបានបែងចែកដោយអាស៊ីមតូតឈរ ដើម្បីមើលថាតើក្រាបនៅខាងលើឬខាងក្រោមអាស៊ីមតូតដេក។ គូសខ្សែកោងដែលខិតទៅជិតអាស៊ីមតូត។

ឃ. ឧទាហរណ៍ក្នុងជីវភាពពិត

• តម្លៃមធ្យម៖ $y=\frac{C_0+cx}{x}$ អាចតំណាងឱ្យតម្លៃចំណាយជាមធ្យមក្នុងមួយឯកតា ($y$) នៅពេលផលិតទំនិញ $x$ ឯកតា ដោយ $C_0$ គឺជាការចំណាយថេរ និង $c$ គឺជាការចំណាយក្នុងមួយឯកតា។ នៅពេល $x$ កើនឡើង តម្លៃមធ្យមនឹងខិតទៅជិត $c$ (អាស៊ីមតូតដេក)។

ង. លំហាត់អនុវត្តន៍ សម្រាប់អនុគមន៍ $y=\frac{2x-2}{x+1}$: ក. ចូររកសមីការនៃអាស៊ីមតូតឈរ។ ខ. ចូររកសមីការនៃអាស៊ីមតូតដេក។ គ. ចូររកចំណោលអ័ក្ស x និងអ័ក្ស y ។