1 - Function Introductory

នព្វន្ត នព្វន្តមូលដ្ឋាន Function

ផែនការមេរៀនគណិតវិទ្យា៖ ពីអនុគមន៍ទៅដេរីវេ

គោលដៅរួម:

សិស្សនឹងអាចយល់ និងប្រើប្រាស់แนวคิดพื้นฐานនៃអនុគមន៍ប្រភេទភេទๆ (លីនេអ៊ែរ, ដឺក្រេទីពីរ, អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល, លោការីត, ត្រីកោណមាត្រ) និងឈានទៅយល់ពីแนวคิดพื้นฐานនៃលីមីត និងដេរីវេ ដែលជាមូលដ្ឋានគ្រឹះនៃแคลคูลัส។

មេរៀនទី១៖ អនុគមន៍លីនេអ៊ែរ និងអនុគមន៍ដឺក្រេទីពីរ (Linear & Quadratic Functions)

១. វត្ថុបំណង:

• សិស្សអាចសង់ក្រាបនៃអនុគមន៍លីនេអ៊ែរ និងដឺក្រេទីពីរបានត្រឹមត្រូវ។
• សិស្សអាចកំណត់ដែនកំណត់ (Domain) និងសំណុំតម្លៃ (Range) នៃអនុគមន៍ទាំងពីរប្រភេទ។

២. ខ្លឹមសារមេរៀន និងឧទាហរណ៍:

ក) អនុគមន៍លីនេអ៊ែរ (ទម្រង់: $y=mx+b$)

• ក្រាប: ជាបន្ទាត់ត្រង់។
  • m គឺជា មេគុណប្រាប់ទិស (Slope) បង្ហាញពីតិសបន្ទាត់។
  • b គឺជា ចំណោលអ័ក្ស y (y-intercept) ជាចំណុចដែលក្រាបកាត់អ័ក្ស y ។
• ដែនកំណត់ (Domain): ជាសំណុំនៃតម្លៃ $x$ ដែលអនុគមន៍អាចទទួលយកបាន។ សម្រាប់អនុគមន៍លីនេអ៊ែរ គឺចំនួនពិតទាំងអស់ ($\mathbb{R}$)។
• សំណុំតម្លៃ (Range): ជាសំណុំនៃតម្លៃ $y$ ដែលទទួលបាន។ សម្រាប់អនុគមន៍លីនេអ៊ែរ គឺចំនួនពិតទាំងអស់ ($\mathbb{R}$)។

ឧទាហរណ៍: សង់ក្រាប, រកដែនកំណត់ និងសំណុំតម្លៃនៃ $y=2x-1$ ។

1. សង់ក្រាប:
   • ចំណោលអ័ក្ស y គឺ $b=-1$ ។ ដូច្នេះក្រាបកាត់អ័ក្ស y ត្រង់ចំណុច $(0,-1)$ ។
   • មេគុណប្រាប់ទិស $m=2=\frac{2}{1}$ (ឡើងលើ 2, ទៅស្តាំ 1)។ ពីចំណុច $(0,-1)$ យើងរំកិលឡើងលើ 2 ឯកតា និងទៅស្តាំ 1 ឯកតា បានចំណុច $(1,1)$ ។
   • គូសបន្ទាត់កាត់តាមចំណុចទាំងពីរ។
2. ដែនកំណត់: $x\in \mathbb{R}$ (ឬ $(-\infty ,+\infty )$)
3. សំណុំតម្លៃ: $y\in \mathbb{R}$ (ឬ $(-\infty ,+\infty )$)

ខ) អនុគមន៍ដឺក្រេទីពីរ (ទម្រង់: $y=a{x}^2+bx+c$)

• ក្រាប: ជាបន្ទាត់ ប៉ារ៉ាបូល (Parabola) មានខ្សែកោង។
  • បើ $a>0$, ប៉ារ៉ាបូលបើកឡើងលើ (មានតម្លៃអប្បបរមា)។
  • បើ $a<0$, ប៉ារ៉ាបូលផ្កាប់ចុះក្រោម (មានតម្លៃអតិបរមា)។
• កំពូល (Vertex): ជាចំណុចទាបបំផុត ឬខ្ពស់បំផុតនៃប៉ារ៉ាបូល។ កូអរដោនេ $x$ នៃកំពូលគឺ $x=-\frac{b}{2a}$ ។
• ដែនកំណត់ (Domain): ចំនួនពិតទាំងអស់ ($\mathbb{R}$)។
• សំណុំតម្លៃ (Range): អាស្រ័យលើកំពូល និងทิศทางของប៉ារ៉ាបូល។

ឧទាហរណ៍: សង់ក្រាប, រកកំពូល, ដែនកំណត់ និងសំណុំតម្លៃនៃ $y=x^2-4x+3$ ។

1. រកកំពូល:
   • $a=1,b=-4$ ។ $x_{\text{កំពូល}}=-\frac{-4}{2(1)}=2$ ។
   • ជំនួស $x=2$ ចូលក្នុងសមីការដើម្បីរក $y$: $y=(2{)}^2-4(2)+3=4-8+3=-1$ ។
   • ដូចនេះ កំពូលគឺ $(2,-1)$ ។
2. សង់ក្រាប:
   • $a=1>0$ ដូច្នេះប៉ារ៉ាបូលបើកឡើងលើ។ កំពូល $(2,-1)$ ជាចំណុចអប្បបរមា។
   • រកចំណុចកាត់អ័ក្ស y (ឱ្យ $x=0$): $y=3$ ។ ចំណុចគឺ $(0,3)$ ។
   • គូសប៉ារ៉ាបូលสมมาตรผ่านកំពូល។
3. ដែនកំណត់: $x\in \mathbb{R}$
4. សំណុំតម្លៃ: ដោយសារប៉ារ៉ាបូលបើកឡើងលើ ហើយតម្លៃ $y$ ទាបสุดគឺ $-1$, ដូចនេះសំណុំតម្លៃគឺ $y\ge -1$ (ឬ $[-1,+\infty )$)។

៣. លំហាត់អនុវត្តន៍:

1. ចូរសង់ក្រាបនៃអនុគមន៍ $y=-x+3$ ហើយកំណត់ដែនកំណត់ និងសំណុំតម្លៃរបស់វា។
2. សម្រាប់អនុគមន៍ $y=-x^2+2x+8$: ក. តើប៉ារ៉ាបូលបើកឡើងលើ ឬផ្កាប់ចុះក្រោម? ហេតុអ្វី? ខ. ចូររកកូអរដោនេនៃកំពូល។ គ. ចូរកំណត់ដែនកំណត់ និងសំណុំតម្លៃ។