7 - Basic Algebra

Algebra Equation Graph Variable

សមីការលីនេអ៊ែរ ឬ​ ​សមីការបន្ទាត់ (Linear Equations)

សមីការលីនេអ៊ែរ គឺជាសមីការដែលអញ្ញត្តិមានដឺក្រេទីមួយ (ឧទាហរណ៍ $x$ មិនមែន $x^2$ ឬ $\sqrt{x}$)។ គោលដៅគឺដោះស្រាយរកតម្លៃ $x$ (ឬអញ្ញត្តិផ្សេងទៀត) ។

១.១. សមីការលីនេអ៊ែរស្មុគស្មាញ

ឧទាហរណ៍:

1. សមីការមានវង់ក្រចក (Parentheses): ដោះស្រាយ: $3(x+2)-5=2x-1$

   • ជំហានទី ១: ពន្លាតវង់ក្រចក (Distribute): $3x+6-5=2x-1$
   • ជំហានទី ២: សម្រួលតួដូចគ្នា (Combine like terms): $3x+1=2x-1$
   • ជំហានទី ៣: រំកិលអញ្ញត្តិទៅអង្គម្ខាង (Move variables to one side): $3x-2x+1=-1$ $x+1=-1$
   • ជំហានទី ៤: រំកិលចំនួនថេរទៅអង្គម្ខាងទៀត (Move constants to the other side): $x=-1-1$ $x=-2$

2. សមីការមានប្រភាគ (Fractions): ដោះស្រាយ: $\frac{x}{3}+\frac{1}{2}=\frac{5}{6}$

   • ជំហានទី ១: រកពហុគុណរួមតូចបំផុត (LCD) នៃភាគបែង (3, 2, 6) គឺ 6 ។
   • ជំហានទី ២: គុណអង្គទាំងសងខាងនឹង LCD (ដើម្បីបំបាត់ភាគបែង): $6\times \left(\frac{x}{3}+\frac{1}{2}\right)=6\times \left(\frac{5}{6}\right)$ $6\cdot \frac{x}{3}+6\cdot \frac{1}{2}=5$ $2x+3=5$
   • ជំហានទី ៣: ដោះស្រាយសមីការលីនេអ៊ែរធម្មតា: $2x=5-3$ $2x=2$ $x=1$

១.២. សមីការលីនេអ៊ែរអក្សរ (Literal Equations) (រូបមន្ត និង ការទាញ)

សមីការលីនេអ៊ែរអក្សរ គឺជាសមីការដែលមានអញ្ញត្តិច្រើន ហើយយើងត្រូវដោះស្រាយរកអញ្ញត្តិណាមួយដែលបានកំណត់។ វាត្រូវបានប្រើជាទូទៅក្នុងរូបមន្ត។

ឧទាហរណ៍: ដោះស្រាយរូបមន្ត $P=2l+2w$ សម្រាប់ $w$ (បរិមាត្រនៃចតុកោណកែង)។

• ជំហានទី ១: រំកិលតួដែលមិនមាន $w$ ទៅអង្គម្ខាងទៀត: $P-2l=2w$
• ជំហានទី ២: ចែកនឹងមេគុណរបស់ $w$: $\frac{P-2l}{2}=w$ ឬ $w=\frac{P-2l}{2}$

២. សមីការដឺក្រេទីពីរ (Quadratic Equations)

សមីការដឺក្រេទីពីរ គឺជាសមីការដែលមានអញ្ញត្តិដឺក្រេខ្ពស់បំផុតគឺ $2$។ ទម្រង់ស្តង់ដាររបស់វាគឺ៖ $a{x}^2+bx+c=0$ ដែល $a,b,c$ គឺជាចំនួនថេរ ហើយ $a\ne 0$ ។

មានវិធីសំខាន់ៗជាច្រើនក្នុងការដោះស្រាយសមីការដឺក្រេទីពីរ៖

២.១. ការបំបែកតួ (Factoring)

វិធីនេះអាចប្រើបាននៅពេលដែលកន្សោម $a{x}^2+bx+c$ អាចបំបែកជាកត្តាបាន។ គោលការណ៍សំខាន់: លក្ខណៈផលគុណសូន្យ (Zero Product Property) - ប្រសិនបើ $A\times B=0$ នោះ $A=0$ ឬ $B=0$ (ឬទាំងពីរ) ។

ឧទាហរណ៍: ដោះស្រាយ: $x^2+5x+6=0$

• ជំហានទី ១: បំបែកកន្សោមជាកត្តា: $(x+2)(x+3)=0$
• ជំហានទី ២: ប្រើលក្ខណៈផលគុណសូន្យ: $x+2=0$ ឬ $x+3=0$
• ជំហានទី ៣: ដោះស្រាយរក $x$: $x=-2$ ឬ $x=-3$

២.២. ការបំពេញការ៉េ (Completing the Square)

វិធីនេះតែងតែអាចប្រើបាន ទោះបីជាកន្សោមមិនអាចបំបែកជាកត្តាក៏ដោយ។ គោលដៅគឺធ្វើឱ្យអង្គម្ខាងនៃសមីការក្លាយជាការ៉េពេញ (Perfect Square Trinomial) ។

ឧទាហរណ៍: ដោះស្រាយ: $x^2+6x-7=0$

• ជំហានទី ១: រំកិលចំនួនថេរទៅអង្គម្ខាងទៀត: $x^2+6x=7$
• ជំហានទី ២: បន្ថែម $(\frac{b}{2}{)}^2$ ទៅអង្គទាំងសងខាង។ ទីនេះ $b=6$ ដូច្នេះ $(\frac{6}{2}{)}^2=3^2=9$: $x^2+6x+9=7+9$ $(x+3{)}^2=16$
• ជំហានទី ៣: យកឫសការ៉េនៃអង្គទាំងសងខាង: $\sqrt{(x+3{)}^2}=\pm \sqrt{16}$ (ត្រូវចាំថាមានឫសវិជ្ជមាន និងអវិជ្ជមាន) $x+3=\pm 4$
• ជំហានទី ៤: ដោះស្រាយរក $x$ (មាន 2 ករណី):
  • ករណី ១: $x+3=4\Rightarrow x=4-3=1$
  • ករណី ២: $x+3=-4\Rightarrow x=-4-3=-7$ ដូចនេះ ដំណោះស្រាយគឺ $x=1$ ឬ $x=-7$ ។

២.៣. រូបមន្តទូទៅ (Quadratic Formula)

រូបមន្តនេះគឺជាវិធីសាស្ត្រដែលតែងតែអាចប្រើបានសម្រាប់សមីការដឺក្រេទីពីរទាំងអស់។ ប្រសិនបើ $a{x}^2+bx+c=0$ នោះ $x$ ត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត៖ $x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

ឌីសគ្រីមីណង់ (Discriminant - $\Delta$): តម្លៃនៅក្នុងឫសការ៉េ ($b^2-4ac$) ត្រូវបានគេហៅថា ឌីសគ្រីមីណង់ ($\Delta$)។ វាជួយយើងកំណត់ប្រភេទនៃដំណោះស្រាយ៖

• ប្រសិនបើ $\Delta >0$: មានដំណោះស្រាយពិត (real solutions) ពីរផ្សេងគ្នា។
• ប្រសិនបើ $\Delta =0$: មានដំណោះស្រាយពិតមួយ (repeated real solution) ។
• ប្រសិនបើ $\Delta <0$: មានដំណោះស្រាយកុំផ្លិច (complex solutions) ពីរ ដែលជាគូកុំផ្លិច (complex conjugates) ។ (នេះជាកន្លែងដែលចំនួនកុំផ្លិចត្រូវបានប្រើ)។

ឧទាហរណ៍: ដោះស្រាយ: $2x^2+3x-5=0$

• ជំហានទី ១: កំណត់ $a,b,c$: $a=2,b=3,c=-5$
• ជំហានទី ២: ជំនួសតម្លៃចូលក្នុងរូបមន្ត: $x=\frac{-(3)\pm \sqrt{(3{)}^2-4(2)(-5)}}{2(2)}$ $x=\frac{-3\pm \sqrt{9-(-40)}}{4}$ $x=\frac{-3\pm \sqrt{9+40}}{4}$ $x=\frac{-3\pm \sqrt{49}}{4}$ $x=\frac{-3\pm 7}{4}$
• ជំហានទី ៣: រកដំណោះស្រាយទាំងពីរ:
  • $x_1=\frac{-3+7}{4}=\frac{4}{4}=1$
  • $x_2=\frac{-3-7}{4}=\frac{-10}{4}=-\frac{5}{2}$ ដូចនេះ ដំណោះស្រាយគឺ $x=1$ ឬ $x=-\frac{5}{2}$ ។ (ឌីសគ្រីមីណង់ $\Delta =49>0$ ដូច្នេះមានដំណោះស្រាយពិតពីរ)។

៣. ប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែរ (Systems of Linear Equations)

ប្រព័ន្ធសមីការ គឺជាសំណុំនៃសមីការពីរ ឬច្រើន ដែលយើងត្រូវដោះស្រាយរកតម្លៃអញ្ញត្តិ (ឬអញ្ញត្តិ) ដែលធ្វើឱ្យសមីការទាំងអស់នោះជាការពិតក្នុងពេលតែមួយ។

៣.១. ប្រព័ន្ធ 2 អញ្ញត្តិ (2 Variables)

មានវិធីសំខាន់ៗពីរ៖

• ក) វិធីជំនួស (Substitution Method): ដោះស្រាយប្រព័ន្ធ:

  1. $y=x+1$
  2. $2x+y=7$
  • ជំហានទី ១: ជំនួសកន្សោមរបស់ $y$ ពី (1) ទៅក្នុង (2): $2x+(x+1)=7$
  • ជំហានទី ២: ដោះស្រាយសមីការលីនេអ៊ែរលទ្ធផល: $3x+1=7$ $3x=6$ $x=2$
  • ជំហានទី ៣: ជំនួសតម្លៃ $x$ ត្រឡប់ទៅសមីការណាមួយ (1) ឬ (2) ដើម្បីរក $y$: $y=(2)+1=3$
  • ដំណោះស្រាយ: $(x,y)=(2,3)$ ។

• ខ) វិធីបំបាត់ (Elimination Method): ដោះស្រាយប្រព័ន្ធ:

  1. $2x+3y=12$
  2. $x-3y=-3$
  • ជំហានទី ១: បូក ឬដកសមីការទាំងពីរដើម្បីបំបាត់អញ្ញត្តិមួយ។ ក្នុងករណីនេះ បូកសមីការទាំងពីរដើម្បីបំបាត់ $y$: $(2x+3y)+(x-3y)=12+(-3)$ $3x=9$
  • ជំហានទី ២: ដោះស្រាយរកអញ្ញត្តិដែលនៅសល់: $x=3$
  • ជំហានទី ៣: ជំនួសតម្លៃ $x$ ត្រឡប់ទៅសមីការណាមួយ (1) ឬ (2) ដើម្បីរក $y$: $3-3y=-3$ (ប្រើសមីការ 2) $-3y=-3-3$ $-3y=-6$ $y=2$
  • ដំណោះស្រាយ: $(x,y)=(3,2)$ ។

៣.២. ប្រព័ន្ធ 3 អញ្ញត្តិ (3 Variables)

ការដោះស្រាយប្រព័ន្ធ 3 អញ្ញត្តិ គឺពង្រីកគោលការណ៍នៃវិធីបំបាត់ ឬជំនួស។ គោលដៅគឺកាត់បន្ថយវាទៅជាប្រព័ន្ធ 2 អញ្ញត្តិ។

ជំហានរួម:

1. ជ្រើសរើសសមីការពីរគូ ហើយបំបាត់អញ្ញត្តិ ដូចគ្នា ចំនួនពីរដង។ នេះនឹងបង្កើតសមីការថ្មីពីរ ដែលមានតែអញ្ញត្តិពីរ។
2. ដោះស្រាយប្រព័ន្ធ 2 អញ្ញត្តិថ្មីនេះ (ដូចវិធីខាងលើ) ដើម្បីរកតម្លៃអញ្ញត្តិពីរ។
3. ជំនួសតម្លៃដែលរកបានត្រឡប់ទៅសមីការដើមណាមួយ ដើម្បីរកអញ្ញត្តិទីបី។

ឧទាហរណ៍ (គ្រាន់តែពន្យល់ជំហាន មិនបាច់ដោះស្រាយលម្អិតទេ ព្រោះវែងពេក): ប្រព័ន្ធ:

1. $x+y+z=6$
2. $2x-y+3z=9$
3. $-x+2y+2z=9$

• ជំហានទី ១:
  • បូក (1) និង (2) ដើម្បីបំបាត់ $y$: ($3x+4z=15$) - (សមីការ 4)
  • បូក (2) និង (3) (ក្រោយគុណ (2) នឹង 2 ដើម្បីបំបាត់ $y$)៖ ($3x+8z=27$) - (សមីការ 5)
• ជំហានទី ២: ដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃ (4) និង (5) ដើម្បីរក $x$ និង $z$ ។
• ជំហានទី ៣: ជំនួស $x,z$ ចូលក្នុង (1) (ឬផ្សេងទៀត) ដើម្បីរក $y$ ។

៤. ប្រភេទសមីការពិសេសៗ (Special Types of Equations)

៤.១. សមីការដែលមានប្រភាគពិជគណិត ឬ សនិទាន (Rational Equations)

សមីការដែលមានប្រភាគដែលភាគបែងមានអញ្ញត្តិ។

គោលការណ៍សំខាន់:

1. រកដែនកំណត់ (Excluded Values): តម្លៃណាមួយរបស់អញ្ញត្តិដែលធ្វើឱ្យភាគបែងស្មើ $0$ គឺមិនអាចជាដំណោះស្រាយបានទេ។ ត្រូវកំណត់វាទុកជាមុន។
2. គុណអង្គទាំងសងខាងនឹងពហុគុណរួមតូចបំផុត (LCD) នៃភាគបែងទាំងអស់ ដើម្បីបំបាត់ប្រភាគ។
3. ដោះស្រាយសមីការលទ្ធផល (អាចជាលីនេអ៊ែរ ឬដឺក្រេទីពីរ)។
4. ពិនិត្យដំណោះស្រាយ: ត្រូវប្រាកដថាដំណោះស្រាយដែលរកបាន មិនមែន ជាដែនកំណត់ដែលយើងបានកំណត់ទុក។ ប្រសិនបើវាជាដែនកំណត់ នោះដំណោះស្រាយនោះជា ដំណោះស្រាយក្លែងក្លាយ (Extraneous Solution) ហើយត្រូវកាត់ចោល។

ឧទាហរណ៍: ដោះស្រាយ: $\frac{1}{x}+\frac{1}{3}=\frac{x+2}{3x}$

• ជំហានទី ១: កំណត់ដែនកំណត់: ភាគបែងមិនអាចស្មើ $0$ បាន ដូច្នេះ $x\ne 0$ ។
• ជំហានទី ២: រក LCD (របស់ $x,3,3x$) គឺ $3x$ ។ គុណអង្គទាំងសងខាងនឹង $3x$: $3x\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{3}\right)=3x\left(\frac{x+2}{3x}\right)$ $3x\cdot \frac{1}{x}+3x\cdot \frac{1}{3}=x+2$ $3+x=x+2$
• ជំហានទី ៣: ដោះស្រាយសមីការលទ្ធផល: $3+x-x=2$ $3=2$ នេះជាប្រយោគមិនពិត។ ដូច្នេះ សមីការនេះ គ្មានដំណោះស្រាយ ។

ឧទាហរណ៍ (មួយទៀត): ដោះស្រាយ: $\frac{x}{x-2}=\frac{2}{x-2}+3$

• ជំហានទី ១: ដែនកំណត់: $x\ne 2$ ។
• ជំហានទី ២: LCD គឺ $x-2$ ។ គុណអង្គទាំងសងខាងនឹង $x-2$: $(x-2)\frac{x}{x-2}=(x-2)\frac{2}{x-2}+(x-2)3$ $x=2+3(x-2)$ $x=2+3x-6$ $x=3x-4$
• ជំហានទី ៣: ដោះស្រាយ: $x-3x=-4$ $-2x=-4$ $x=2$
• ជំហានទី ៤: ពិនិត្យដំណោះស្រាយ: ដំណោះស្រាយដែលយើងរកបានគឺ $x=2$ ។ ប៉ុន្តែយើងបានកំណត់ពីដំបូងថា $x\ne 2$ ។ ដូច្នេះ $x=2$ គឺជា ដំណោះស្រាយក្លែងក្លាយ ។ ដូចនេះ សមីការនេះ គ្មានដំណោះស្រាយ ។

៤.២. សមីការដែលមានរ៉ាឌីកាល់ (Radical Equations)

សមីការដែលមានអញ្ញត្តិនៅក្រោមសញ្ញាឫស (Radical Sign) ដូចជាឫសការ៉េ ឬឫសគូប។

គោលការណ៍សំខាន់:

1. ញែករ៉ាឌីកាល់ (Isolate the radical): ដាក់តួឫសនៅអង្គម្ខាងតែឯង។
2. តម្លើងការ៉េ (Square) ឬគូប (Cube) (អាស្រ័យលើប្រភេទឫស) អង្គទាំងសងខាង ដើម្បីបំបាត់ឫស។
3. ដោះស្រាយសមីការលទ្ធផល (អាចជាលីនេអ៊ែរ ឬដឺក្រេទីពីរ)។
4. ពិនិត្យដំណោះស្រាយ: ការតម្លើងការ៉េ/គូបអាចបង្កើត ដំណោះស្រាយក្លែងក្លាយ (Extraneous Solutions) ។ ដូច្នេះ ត្រូវជំនួសដំណោះស្រាយដែលរកបានត្រឡប់ចូលទៅក្នុងសមីការដើមជានិច្ច ដើម្បីពិនិត្យមើលភាពត្រឹមត្រូវ។

ឧទាហរណ៍: ដោះស្រាយ: $\sqrt{x-1}=5$

• ជំហានទី ១: ឫសត្រូវបានញែករួចហើយ។
• ជំហានទី ២: តម្លើងការ៉េអង្គទាំងសងខាង: $(\sqrt{x-1}{)}^2=5^2$ $x-1=25$
• ជំហានទី ៣: ដោះស្រាយ: $x=25+1$ $x=26$
• ជំហានទី ៤: ពិនិត្យដំណោះស្រាយ (សំខាន់!): ជំនួស $x=26$ ចូលក្នុងសមីការដើម: $\sqrt{26-1}=\sqrt{25}=5$ ។ $5=5$ (ពិត)។ ដូចនេះ ដំណោះស្រាយគឺ $x=26$ ។

ឧទាហរណ៍ (មានដំណោះស្រាយក្លែងក្លាយ): ដោះស្រាយ: $\sqrt{x+2}=x$

• ជំហានទី ១: ឫសត្រូវបានញែករួចហើយ។
• ជំហានទី ២: តម្លើងការ៉េអង្គទាំងសងខាង: $(\sqrt{x+2}{)}^2=x^2$ $x+2=x^2$
• ជំហានទី ៣: រៀបចំទៅជាសមីការដឺក្រេទីពីរ ហើយដោះស្រាយ: $0=x^2-x-2$ $0=(x-2)(x+1)$ $x=2$ ឬ $x=-1$
• ជំហានទី ៤: ពិនិត្យដំណោះស្រាយ:
  • ពិនិត្យ $x=2$: $\sqrt{2+2}=2\Rightarrow \sqrt{4}=2\Rightarrow 2=2$ (ពិត)។ ដូច្នេះ $x=2$ គឺជាដំណោះស្រាយ។
  • ពិនិត្យ $x=-1$: $\sqrt{-1+2}=-1\Rightarrow \sqrt{1}=-1\Rightarrow 1=-1$ (មិនពិត)។ ដូច្នេះ $x=-1$ គឺជា ដំណោះស្រាយក្លែងក្លាយ ។ ដូចនេះ ដំណោះស្រាយតែមួយគត់គឺ $x=2$ ។