6 - Pre-Algebra

review Algebra Equation Inequilaity Expression Variable REVIEW អញ្ញត្តិ កន្សោម សមីការ និងវិសមីការ (Algebra Intro: Variables, Expressions, Equations & Inequalities)

ពិជគណិត (Algebra) គឺជាការសិក្សាដែលទាក់ទងនឹងនិមិត្តសញ្ញាតាង និងច្បាប់សម្រាប់រៀបចំនិមិត្តសញ្ញាទាំងនោះ។ វាជាភាសាមួយដែលជួយយើងដោះស្រាយបញ្ហា ដែលមានតម្លៃមិនស្គាល់ (unknown values) នៅក្នុងជីវិតពិត។

១. អញ្ញត្តិ (Variable) និង កន្សោមពិជគណិត (Algebraic Expression)

១.១. អញ្ញត្តិ (Variable)

អញ្ញត្តិ គឺជាតួអក្សរ (ដូចជា $x,y,a,b,n,\dots$) ដែលត្រូវបានប្រើដើម្បីតំណាងឱ្យចំនួនដែលមិនស្គាល់ ឬតម្លៃដែលអាចផ្លាស់ប្តូរបាន។ ឧទាហរណ៍៖

• ក្នុងកន្សោម $2x+5$, $x$ គឺជាអញ្ញត្តិ។
• ក្នុងរូបមន្ត $A=\pi r^2$, $r$ គឺជាអញ្ញត្តិ (កាំ) និង $A$ គឺជាអញ្ញត្តិ (ផ្ទៃ)។

១.២. កន្សោមពិជគណិត (Algebraic Expression)

កន្សោមពិជគណិត គឺជាបន្សំនៃអញ្ញត្តិ (variables) ចំនួនថេរ (constants) និងសញ្ញារគណិតវិទ្យា (operations) ដូចជា បូក (+) ដក (-) គុណ ($\times$) និងចែក ( $÷$ ) ។ កន្សោមមិនមានសញ្ញាស្មើ (=) ទេ។

ឧទាហរណ៍កន្សោមពិជគណិត:

• $x+7$ (អញ្ញត្តិ $x$ បូក $7$)
• $3y-2$ (បីដងនៃអញ្ញត្តិ $y$ ដក $2$)
• $5ab$ (ប្រាំដងនៃផលគុណ $a$ និង $b$)
• $\frac{m}{4}+1$ (អញ្ញត្តិ $m$ ចែក $4$ បូក $1$)

ការគណនាតម្លៃនៃកន្សោម (Evaluating an Expression): ដើម្បីគណនាតម្លៃនៃកន្សោមពិជគណិត យើងត្រូវជំនួសតម្លៃជាក់លាក់មួយទៅក្នុងអញ្ញត្តិ រួចធ្វើការគណនា។

ឧទាហរណ៍: គណនាតម្លៃនៃកន្សោម $2x+5$ ប្រសិនបើ $x=3$ ។

• ដំណោះស្រាយ: ជំនួស $x=3$ ចូលទៅក្នុងកន្សោម៖ $2(3)+5$ $=6+5$ $=11$ ដូចនេះ តម្លៃនៃកន្សោមគឺ $11$ ។

២. សមីការ (Equation)

២.១. អ្វីទៅជាសមីការ?

សមីការ គឺជាកន្សោមពីរមានតម្លៃស្មើគ្នា។ វាមានសញ្ញាស្មើ (=) នៅចំកណ្តាល។

ឧទាហរណ៍សមីការ:

• $x+5=12$
• $3y-4=11$
• $2a=10$

២.២. ការដោះស្រាយសមីការ (Solving an Equation)

ការដោះស្រាយសមីការ គឺការស្វែងរកតម្លៃរបស់អញ្ញត្តិ (ឬអញ្ញត្តិ) ដែលធ្វើឱ្យសមីការនោះជាការពិត។ ដើម្បីដោះស្រាយសមីការ យើងប្រើប្រតិបត្តិការច្រាស (inverse operations) និងរក្សាសមភាពនៃអង្គទាំងពីរនៃសមីការ។

គោលការណ៍មូលដ្ឋាននៃការដោះស្រាយសមីការ:

• ប្រសិនបើយើងបន្ថែម (ឬដក ឬគុណ ឬចែក) ចំនួនដូចគ្នាទៅលើអង្គទាំងសងខាងនៃសមីការ នោះសមភាពនៅតែរក្សាបាន។

ឧទាហរណ៍:

1. ដោះស្រាយ $x+5=12$

   • ដើម្បីបំបាត់ $+5$ យើងត្រូវដក $5$ ចេញពីអង្គទាំងសងខាង៖ $x+5-5=12-5$ $x=7$
   • ពិនិត្យចម្លើយ: $7+5=12$ (ពិត)។

2. ដោះស្រាយ $y-3=8$

   • ដើម្បីបំបាត់ $-3$ យើងត្រូវបូក $3$ ចូលអង្គទាំងសងខាង៖ $y-3+3=8+3$ $y=11$
   • ពិនិត្យចម្លើយ: $11-3=8$ (ពិត)។

3. ដោះស្រាយ $4z=20$

   • ដើម្បីបំបាត់ $4$ ដែលគុណនឹង $z$ យើងត្រូវចែកនឹង $4$ លើអង្គទាំងសងខាង៖ $\frac{4z}{4}=\frac{20}{4}$ $z=5$
   • ពិនិត្យចម្លើយ: $4\times 5=20$ (ពិត)។

4. ដោះស្រាយ $\frac{m}{2}=7$

   • ដើម្បីបំបាត់ $2$ ដែលចែកនឹង $m$ យើងត្រូវគុណនឹង $2$ លើអង្គទាំងសងខាង៖ $\frac{m}{2}\times 2=7\times 2$ $m=14$
   • ពិនិត្យចម្លើយ: $\frac{14}{2}=7$ (ពិត)។

5. ដោះស្រាយ $2p+3=11$ (សមីការច្រើនជំហាន)

   • ជំហានទី ១: បំបាត់ចំនួនថេរ (ដក $3$ ចេញពីអង្គទាំងសងខាង) $2p+3-3=11-3$ $2p=8$
   • ជំហានទី ២: បំបាត់មេគុណ (ចែកនឹង $2$ លើអង្គទាំងសងខាង) $\frac{2p}{2}=\frac{8}{2}$ $p=4$
   • ពិនិត្យចម្លើយ: $2(4)+3=8+3=11$ (ពិត)។

៣. វិសមីការ (Inequality)

៣.១. អ្វីទៅជាវិសមីការ?

វិសមីការ គឺជាប្រយោគគណិតវិទ្យាដែលបង្ហាញពីវិសមភាព (មិនស្មើគ្នា) រវាងកន្សោមពីរ។ វាប្រើនិមិត្តសញ្ញាដូចខាងក្រោម៖

• $<$ : តូចជាង (less than)
• $>$ : ធំជាង (greater than)
• $\le$ : តូចជាង ឬស្មើ (less than or equal to)
• $\ge$ : ធំជាង ឬស្មើ (greater than or equal to)

ឧទាហរណ៍វិសមីការ:

• $x>5$ (x ធំជាង 5)
• $y\le 10$ (y តូចជាង ឬស្មើ 10)
• $2a+1<7$

៣.២. ការដោះស្រាយវិសមីការ (Solving an Inequality)

ការដោះស្រាយវិសមីការ គឺការស្វែងរកជួរនៃតម្លៃរបស់អញ្ញត្តិដែលធ្វើឱ្យវិសមីការនោះជាការពិត។ គោលការណ៍នៃការដោះស្រាយគឺស្រដៀងគ្នាទៅនឹងសមីការដែរ លើកលែងចំណុចសំខាន់មួយ៖

គោលការណ៍សំខាន់:

• នៅពេលគុណ ឬចែកអង្គទាំងសងខាងនៃវិសមីការដោយចំនួនអវិជ្ជមាន ត្រូវតែប្ដូរទិសដៅនៃសញ្ញាវិសមភាព។

ឧទាហរណ៍:

1. ដោះស្រាយ $x+3<8$

   • ដក $3$ ចេញពីអង្គទាំងសងខាង៖ $x+3-3<8-3$ $x<5$
   • ដំណោះស្រាយ: តម្លៃទាំងអស់របស់ $x$ ដែលតូចជាង $5$ ។
   • តំណាងលើបន្ទាត់ចំនួន (Number Line):

     <----o---------
     -1 0 1 2 3 4 5 6
            (រង្វង់ទទេ ព្រោះមិនរាប់បញ្ចូល 5)
     

2. ដោះស្រាយ $2y\ge 10$

   • ចែកនឹង $2$ (ចំនួនវិជ្ជមាន) លើអង្គទាំងសងខាង៖ $\frac{2y}{2}\ge \frac{10}{2}$ $y\ge 5$
   • ដំណោះស្រាយ: តម្លៃទាំងអស់របស់ $y$ ដែលធំជាង ឬស្មើ $5$ ។
   • តំណាងលើបន្ទាត់ចំនួន:

     --------●---->
     -1 0 1 2 3 4 5 6
            (រង្វង់ពេញ ព្រោះរាប់បញ្ចូល 5)
     

3. ដោះស្រាយ $-3z>15$

   • ចែកនឹង $-3$ (ចំនួនអវិជ្ជមាន) លើអង្គទាំងសងខាង ហើយប្ដូរទិសដៅសញ្ញាវិសមភាព៖ $\frac{-3z}{-3}<\frac{15}{-3}$ (សញ្ញា > ទៅជា <) $z<-5$
   • ដំណោះស្រាយ: តម្លៃទាំងអស់របស់ $z$ ដែលតូចជាង $-5$ ។
   • តំណាងលើបន្ទាត់ចំនួន:

     <----o---------
     -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0
            (រង្វង់ទទេ ព្រោះមិនរាប់បញ្ចូល -5)
     

4. ដោះស្រាយ $4-2p\le 12$

   • ជំហានទី ១: បំបាត់ចំនួនថេរ (ដក $4$ ចេញពីអង្គទាំងសងខាង) $4-2p-4\le 12-4$ $-2p\le 8$
   • ជំហានទី ២: បំបាត់មេគុណ (ចែកនឹង $-2$ (ចំនួនអវិជ្ជមាន) លើអង្គទាំងសងខាង ហើយប្ដូរទិសដៅសញ្ញាវិសមភាព): $\frac{-2p}{-2}\ge \frac{8}{-2}$ (សញ្ញា $\le$ ទៅជា $\ge$) $p\ge -4$
   • ដំណោះស្រាយ: តម្លៃទាំងអស់របស់ $p$ ដែលធំជាង ឬស្មើ $-4$ ។
   • តំណាងលើបន្ទាត់ចំនួន:

     --------●---->
     -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1
            (រង្វង់ពេញ ព្រោះរាប់បញ្ចូល -4)