នព្វន្ត នព្វន្តមូលដ្ឋាន ស្វីត

សញ្ញាស៊ីកម៉ា (Sigma Notation - $\sum$)

សញ្ញាស៊ីកម៉ា ($\sum$) គឺជាអក្សរក្រិច (អក្សរធំ) ដែលប្រើក្នុងគណិតវិទ្យាដើម្បីតំណាងឱ្យ ផលបូក នៃតួជាច្រើន។ វាជាវិធីសរសេរកាត់ដើម្បីបង្ហាញពីផលបូកនៃស្វីតមួយ។

គេអាចសរសេរ:

${\sum }_{k=start}^{end}\text{expression}$

• $\sum$: តំណាងឱ្យ “ផលបូក” (summation)។
• $k$: គឺជា អញ្ញត្តិសន្ទស្សន៍ (index variable) ដែលបង្ហាញពីចំនួនរៀងនៃតួ។ អញ្ញត្តិសន្ទស្សន៍អាចជាអក្សរអ្វីក៏បាន (i, j, k, n, etc.)។
• $start$: គឺជា តម្លៃចាប់ផ្តើម (lower limit) នៃអញ្ញត្តិសន្ទស្សន៍។
• $end$: គឺជា តម្លៃបញ្ចប់ (upper limit) នៃអញ្ញត្តិសន្ទស្សន៍។ ប្រសិនបើ “end” គឺជាសញ្ញា $\infty$ នោះមានន័យថាវាជាផលបូកអនន្ត។
• $\text{expression}$: គឺជាកន្សោមដែលបង្ហាញពីតួទូទៅ ($u_n$ ឬ $u_i$) ដែលត្រូវយកមកបូក។ ក្នុងនោះ $k$ យកតម្លៃពី $1,2,3,\dots$ រហូតដល់ $n$ ។

ឧទាហរណ៍នៃការប្រើប្រាស់សញ្ញាស៊ីកម៉ា:

ឧទាហរណ៍ ១: ផលបូកសាមញ្ញ ${\sum }_{k=1}^{5}k$ នេះមានន័យថា “បូកលេខចាប់ពី $k=1$ រហូតដល់ $k=5$ ។” $=1+2+3+4+5=15$

ឧទាហរណ៍ ២: ផលបូកនព្វន្ត (Arithmetic Series) ចូររកផលបូកនៃ ${\sum }_{k=1}^4(2k+1)$។

• នៅពេល $k=1$: $2(1)+1=3$
• នៅពេល $k=2$: $2(2)+1=5$
• នៅពេល $k=3$: $2(3)+1=7$
• នៅពេល $k=4$: $2(4)+1=9$ $=3+5+7+9=24$ (នេះជាស្វីតនព្វន្តដែលមាន $u_1=3$ និង $d=2$)

ឧទាហរណ៍ ៣: ផលបូកធរណីមាត្រ (Geometric Series) ចូររកផលបូកនៃ ${\sum }_{k=1}^{3}2\times 3^{k-1}$។

• នៅពេល $k=1$: $2\times 3^{1-1}=2\times 3^0=2\times 1=2$
• នៅពេល $k=2$: $2\times 3^{2-1}=2\times 3^1=2\times 3=6$
• នៅពេល $k=3$: $2\times 3^{3-1}=2\times 3^2=2\times 9=18$ $=2+6+18=26$ (នេះជាស្វីតធរណីមាត្រដែលមាន $u_1=2$ និង $r=3$)

ឧទាហរណ៍ $1+2+3+\cdots +n={\sum }_{k=1}^{n}k$ $1^2+2^2+3^2+\cdots +n^2={\sum }_{k=1}^n{k}^2$ ។

លំហាត់គំរូ 1

សរសេរផលបូកខាងក្រោមដោយប្រើនិមិត្តសញ្ញា ∑ : ក. $1^3+2^3+3^3+\cdots +n^3$ ខ. $2+4+6+8+\cdots +100$ គ. $\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\cdots +\frac{1}{50}$

ចម្លើយ ក. $1^3+2^3+3^3+\cdots +n^3={\sum }_{k=1}^n{k}^3$ ។ ខ. $2+4+6+8+\cdots +100=2\times 1+2\times 2+2\times 3+\cdots +2\times 50$ ផលបូកស្វីតនេះមានតួទូទៅ $2n$ ហើយ $n$ យកតម្លៃពី $1$ ដល់ $50$ គេបាន $2+4+6+8+\cdots +100={\sum }_{n=1}^{50}2n$ ។ គ. $\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\cdots +\frac{1}{50}$ ផលបូកនេះ $n$ យកតម្លៃពី $2$ ដល់ $50$ ។ តួទូទៅនៃស្វីត $\frac{(-1{)}^n}{n}$ ។ គេបាន $\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\cdots +\frac{1}{50}={\sum }_{n=2}^{50}\frac{(-1{)}^n}{n}$ ។

ប្រតិបត្តិ

សរសេរផលបូកខាងក្រោមដោយប្រើនិមិត្តសញ្ញា ∑ : ក. $2+5+8+\cdots +(3n-1)$ ខ. $3+6+12+\cdots +3(2{)}^{n-1}$ គ. $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots +\frac{1}{100}$ ។

លក្ខណៈនៃផលបូក (Properties of Summation)

• ក. ${\sum }_{k=1}^{n}c=nc$ (c គឺជាចំនួនថេរ)
• ខ. ${\sum }_{k=1}^{n}c{a}_k=c{\sum }_{k=1}^n{a}_k$
• គ. ${\sum }_{k=1}^n(a_k+b_k)={\sum }_{k=1}^n{a}_k+{\sum }_{k=1}^n{b}_k$
• ឃ. ${\sum }_{k=1}^n(a_k-b_k)={\sum }_{k=1}^n{a}_k-{\sum }_{k=1}^n{b}_k$
• ង. ${\sum }_{k=1}^n(a_k+b_k{)}^2={\sum }_{k=1}^n{a}_k^2+2{\sum }_{k=1}^n{a}_k{b}_k+{\sum }_{k=1}^n{b}_k^2$ ។

សម្រាយបញ្ជាក់ (Proofs)

• ក. ${\sum }_{k=1}^{n}c=c+c+c+\cdots +c\text{ (n ដង)}=nc$ ។
• ខ. ${\sum }_{k=1}^{n}c{a}_k=c{a}_1+c{a}_2+c{a}_3+\cdots +c{a}_n=c(a_1+a_2+a_3+\cdots +a_n)=c{\sum }_{k=1}^n{a}_k$ ។
• គ. ${\sum }_{k=1}^n(a_k+b_k)=(a_1+b_1)+(a_2+b_2)+\cdots +(a_n+b_n)$ $=(a_1+a_2+\cdots +a_n)+(b_1+b_2+\cdots +b_n)={\sum }_{k=1}^n{a}_k+{\sum }_{k=1}^n{b}_k$ ។
• ឃ. ${\sum }_{k=1}^n(a_k-b_k)=(a_1-b_1)+(a_2-b_2)+(a_3-b_3)+\cdots +(a_n-b_n)$ $=(a_1+a_2+a_3+\cdots +a_n)-(b_1+b_2+b_3+\cdots +b_n)$ $={\sum }_{k=1}^n{a}_k-{\sum }_{k=1}^n{b}_k$ ។
• ង. ${\sum }_{k=1}^n(a_k+b_k{)}^2={\sum }_{k=1}^n(a_k^2+2a_k{b}_k+b_k^2)={\sum }_{k=1}^n{a}_k^2+{\sum }_{k=1}^{n}2a_k{b}_k+{\sum }_{k=1}^n{b}_k^2$ $={\sum }_{k=1}^n{a}_k^2+2{\sum }_{k=1}^n{a}_k{b}_k+{\sum }_{k=1}^n{b}_k^2$ ។

លំហាត់គំរូ

គណនា ក. ${\sum }_{k=1}^{15}(4k+3)$ ខ. ${\sum }_{k=1}^{20}(k+3)k$ ។

ចម្លើយ ក. ${\sum }_{k=1}^{15}(4k+3)={\sum }_{k=1}^{15}4k+{\sum }_{k=1}^{15}3$ (ប្រើលក្ខណៈ គ. និង ក.) $=4{\sum }_{k=1}^{15}k+{\sum }_{k=1}^{15}3$ (ប្រើលក្ខណៈ ខ.) $=4(1+2+3+\cdots +15)+15\times 3$ $=4\times \frac{(1+15)\times 15}{2}+45$ (ប្រើរូបមន្តផលបូកនព្វន្ត $S_n=\frac{n(u_1+u_n)}{2}$) $=4\times \frac{16\times 15}{2}+45=2\times 16\times 15+45=32\times 15+45=480+45=525$ ។

ខ. ${\sum }_{k=1}^{20}(k+3)k={\sum }_{k=1}^{20}(k^2+3k)$ (ពន្លាតកន្សោម) $={\sum }_{k=1}^{20}{k}^2+{\sum }_{k=1}^{20}3k$ (ប្រើលក្ខណៈ គ.) $={\sum }_{k=1}^{20}{k}^2+3{\sum }_{k=1}^{20}k$ (ប្រើលក្ខណៈ ខ.)

យើងដឹងរូបមន្តសម្រាប់ផលបូកនៃ $k$ និង $k^2$: ${\sum }_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}$ ${\sum }_{k=1}^n{k}^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

ជំនួស $n=20$ ចូលក្នុងរូបមន្ត: $=\frac{(20)\times (20+1)\times (2\times 20+1)}{6}+3\frac{(20)(20+1)}{2}$ $=\frac{20\times 21\times 41}{6}+3\frac{20\times 21}{2}$ $=(10\times 7\times 41)+(3\times 10\times 21)$ $=2870+630=3500$ ។