នព្វន្តមូលដ្ឋាន នព្វន្ត ស្វីតនព្វន្ត

តើធ្វើដូចម្តេចទើបដឹងថាជាស្វីតនព្វន្ត?

ស្វីតនព្វន្ត គឺជាស្វីតមួយដែលចំនួននីមួយៗ (ចាប់ពីចំនួនទីពីរទៅ) កើតចេញពីការបូក ចំនួនថេរមួយទៅលើចំនួនខាងមុនវា។ ចំនួនថេរនេះត្រូវបានគេហៅថា ផលសងរួម (common difference) ហើយត្រូវបានសម្គាល់ដោយអក្សរ $d$។

របៀបកំណត់អត្តសញ្ញាណ: គ្រាន់តែយកចំនួនណាមួយដកនឹងចំនួនមុនវា។ ប្រសិនបើលទ្ធផលដូចគ្នាសម្រាប់គ្រប់គូ នោះគឺជាស្វីតនព្វន្ត។

ឧទាហរណ៍ ១: តើស្វីត $2,5,8,11,\dots$ ជាស្វីតនព្វន្តមែនទេ?

• $5-2=3$
• $8-5=3$
• $11-8=3$

ដោយសារតែផលសងគឺថេរ ($d=3$) ដូច្នេះនេះជាស្វីតនព្វន្ត។

ឧទាហរណ៍ ២: តើស្វីត $1,3,6,10,\dots$ ជាស្វីតនព្វន្តមែនទេ?

• $3-1=2$
• $6-3=3$
• $10-6=4$

ដោយសារតែផលសងមិនថេរទេ ដូច្នេះនេះ មិនមែន ជាស្វីតនព្វន្តឡើយ។

រូបមន្តទូទៅនៃស្វីតនព្វន្ត

ដើម្បីរកចំនួននៅតួណាមួយ យើងមិនចាំបាច់រាប់តាំងពីដើមឡើយ។ យើងមានរូបមន្តទូទៅមួយគឺ៖

$u_n=u_1+(n-1)d$

ដែល៖

• $u_n$: គឺជាតួទី $n$ (the $n$-th term) ដែលយើងចង់រក។
• $u_1$: គឺជាតួទីមួយ (the first term) នៃស្វីត។
• $n$: គឺជាលំដាប់លេខរៀង (the position) នៃតួដែលយើងចង់រក។
• $d$: គឺជាផលសងរួម (the common difference) រវាងតួជាប់គ្នា។

ឧទាហរណ៍ ១:

ចូរពិចារណាស្វីតនព្វន្ត: $2,5,8,11,\dots$ ចូររកតួទី $10$ ($u_{10}$) នៃស្វីតនេះ។

ដំណោះស្រាយ:

1. កំណត់អត្តសញ្ញាណ $u_1$ និង $d$:
   • តួទីមួយ $u_1=2$
   • ផលសងរួម $d=5-2=3$
2. ប្រើរូបមន្ត $u_n=u_1+(n-1)d$:
   • យើងចង់រក $u_{10}$ ដូច្នេះ $n=10$។
   • ជំនួសតម្លៃចូលក្នុងរូបមន្ត: $u_{10}=2+(10-1)\times 3$ $u_{10}=2+(9)\times 3$ $u_{10}=2+27$ $u_{10}=29$ ដូចនេះ តួទី $10$ នៃស្វីតនេះគឺ $29$។

ឧទាហរណ៍ ២:

ក្នុងស្វីតនព្វន្តមួយ តួទីមួយគឺ $5$ ហើយផលសងរួមគឺ $3$។ តើលេខ $50$ ស្ថិតនៅលំដាប់ទីប៉ុន្មាន?

ដំណោះស្រាយ:

1. កំណត់អត្តសញ្ញាណ $u_1$, $d$ និង $u_n$:
   • តួទីមួយ $u_1=5$
   • ផលសងរួម $d=3$
   • តួដែលយើងចង់រកលំដាប់ $u_n=50$
2. ប្រើរូបមន្ត $u_n=u_1+(n-1)d$ រួចទាញរក $n$:
   • ជំនួសតម្លៃចូលក្នុងរូបមន្ត: $50=5+(n-1)\times 3$
   • ដក $5$ ចេញពីអង្គទាំងសងខាង: $50-5=(n-1)\times 3$ $45=(n-1)\times 3$
   • ចែក $3$ លើអង្គទាំងសងខាង: $\frac{45}{3}=n-1$ $15=n-1$
   • បូក $1$ ទៅអង្គទាំងសងខាង: $15+1=n$ $n=16$ ដូចនេះ តួ $50$ ស្ថិតនៅលំដាប់ទី $16$ នៃស្វីតនេះ។

ផលបូកសរុបនៃស្វីតនព្វន្ត (Arithmetic Series)

ពេលខ្លះយើងមិនគ្រាន់តែចង់ដឹងពីតួណាមួយនៃស្វីតនោះទេ តែយើងចង់ដឹងពីផលបូកនៃតួទាំងអស់ចាប់ពីតួទីមួយរហូតដល់តួដែលយើងចង់បាន។ ផលបូកនៃស្វីតនព្វន្ត ត្រូវបានគេហៅថា ផលបូកនព្វន្ត (Arithmetic Series) ហើយត្រូវបានសម្គាល់ដោយ $S_n$ ។

ដើម្បីរកផលបូកនៃ $n$ តួដំបូងនៃស្វីតនព្វន្ត យើងមានរូបមន្តមួយគឺ៖

$S_n=\frac{n(u_1+u_n)}{2}$

ដែល៖

• $S_n$: គឺជាផលបូកនៃ $n$ តួដំបូងនៃស្វីតនព្វន្ត។
• $n$: គឺជាចំនួនតួដែលត្រូវបូក។
• $u_1$: គឺជាតួទីមួយ។
• $u_n$: គឺជាតួចុងក្រោយ (តួទី $n$) ដែលត្រូវបូក។

ឧទាហរណ៍សម្រាប់ការប្រើរូបមន្ត $S_n$

ឧទាហរណ៍ ១: រកផលបូកនៃ $10$ តួដំបូងនៃស្វីតនព្វន្ត $2,5,8,\dots ,29$។ (យើងដឹងពីឧទាហរណ៍មុនថា $u_{10}=29$)

ដំណោះស្រាយ:

1. កំណត់អត្តសញ្ញាណ $u_1$, $u_n$ និង $n$:
   • តួទីមួយ $u_1=2$
   • តួចុងក្រោយ $u_{10}=29$
   • ចំនួនតួដែលត្រូវបូក $n=10$
2. ប្រើរូបមន្ត $S_n=\frac{n(u_1+u_n)}{2}$:
   • ជំនួសតម្លៃចូលក្នុងរូបមន្ត: $S_{10}=\frac{10(2+29)}{2}$ $S_{10}=\frac{10(31)}{2}$ $S_{10}=5\times 31$ $S_{10}=155$ ដូចនេះ ផលបូកនៃ $10$ តួដំបូងនៃស្វីតនេះគឺ $155$។

ឧទាហរណ៍ ២: រកផលបូកនៃ $15$ តួដំបូងនៃស្វីតនព្វន្ត $4,7,10,\dots$។

ដំណោះស្រាយ: ក្នុងករណីនេះ យើងមិនទាន់ដឹងតួចុងក្រោយ ($u_{15}$) ទេ ដូច្នេះយើងត្រូវរកវាជាមុនសិន។

1. កំណត់អត្តសញ្ញាណ $u_1$, $d$ និង $n$:
   • តួទីមួយ $u_1=4$
   • ផលសងរួម $d=7-4=3$
   • ចំនួនតួដែលត្រូវបូក $n=15$
2. រកតួចុងក្រោយ $u_{15}$ ដោយប្រើរូបមន្ត $u_n=u_1+(n-1)d$:
   • $u_{15}=4+(15-1)\times 3$
   • $u_{15}=4+14\times 3$
   • $u_{15}=4+42$
   • $u_{15}=46$ ដូចនេះ តួទី $15$ គឺ $46$។
3. រកផលបូក $S_{15}$ ដោយប្រើរូបមន្ត $S_n=\frac{n(u_1+u_n)}{2}$:
   • ជំនួសតម្លៃចូលក្នុងរូបមន្ត: $S_{15}=\frac{15(4+46)}{2}$ $S_{15}=\frac{15(50)}{2}$ $S_{15}=15\times 25$ $S_{15}=375$ ដូចនេះ ផលបូកនៃ $15$ តួដំបូងនៃស្វីតនេះគឺ $375$។