នព្វន្ត នព្វន្តមូលដ្ឋាន ស្វីតធរណីមាត្រ

តើធ្វើដូចម្តេចទើបដឹងថាជាស្វីតនព្វន្ត?

បន្ទាប់ពីយើងបានស្វែងយល់ពីស្វីតនព្វន្ត ដែលជាលំដាប់នៃចំនួនដែលមានផលសងថេរ ឥឡូវនេះយើងនឹងបន្តទៅស្វីតធរណីមាត្រ ដែលជាលំដាប់នៃចំនួនដែលមាន ផលធៀបថេរ។

តើធ្វើដូចម្តេចទើបដឹងថាជាស្វីតធរណីមាត្រ?

ស្វីតធរណីមាត្រ គឺជាស្វីតមួយដែលចំនួននីមួយៗ (ចាប់ពីចំនួនទីពីរទៅ) កើតចេញពីការ គុណ ចំនួនថេរមួយទៅលើចំនួនមុនវា។ ចំនួនថេរនេះត្រូវបានគេហៅថា ផលធៀបរួម (common ratio) ហើយត្រូវបានសម្គាល់ដោយអក្សរ $r$។

របៀបកំណត់អត្តសញ្ញាណ: គ្រាន់តែយកចំនួនណាមួយ ចែក នឹងចំនួនមុនវា។ ប្រសិនបើលទ្ធផលដូចគ្នាសម្រាប់គ្រប់គូ នោះគឺជាស្វីតធរណីមាត្រ។

ឧទាហរណ៍ ១: តើស្វីត $3,6,12,24,\dots$ ជាស្វីតធរណីមាត្រមែនទេ?

• $\frac{6}{3}=2$
• $\frac{12}{6}=2$
• $\frac{24}{12}=2$

ដោយសារតែផលធៀបគឺថេរ ($r=2$) ដូច្នេះនេះជាស្វីតធរណីមាត្រ។

ឧទាហរណ៍ ២: តើស្វីត $1,-2,4,-8,\dots$ ជាស្វីតធរណីមាត្រមែនទេ?

• $\frac{-2}{1}=-2$
• $\frac{4}{-2}=-2$
• $\frac{-8}{4}=-2$

ដោយសារតែផលធៀបគឺថេរ ($r=-2$) ដូច្នេះនេះជាស្វីតធរណីមាត្រ។

រូបមន្តទូទៅនៃស្វីតធរណីមាត្រ

ដើម្បីរកតួទី $n$ នៃស្វីតធរណីមាត្រ យើងមានរូបមន្តទូទៅគឺ៖

$u_n=u_1{r}^{n-1}$

ដែល៖

• $u_n$: គឺជាតួទី $n$ (the $n$-th term) ដែលយើងចង់រក។
• $u_1$: គឺជាតួទីមួយ (the first term) នៃស្វីត។
• $n$: គឺជាលំដាប់លេខរៀង (the position) នៃតួដែលយើងចង់រក។
• $r$: គឺជាផលធៀបរួម (the common ratio) រវាងតួជាប់គ្នា។

ឧទាហរណ៍សម្រាប់ការប្រើរូបមន្ត $u_n$

ឧទាហរណ៍ ១: ចូរពិចារណាស្វីតធរណីមាត្រ: $3,6,12,24,\dots$ ចូររកតួទី $7$ ($u_7$) នៃស្វីតនេះ។

ដំណោះស្រាយ:

1. កំណត់អត្តសញ្ញាណ $u_1$ និង $r$:
   • តួទីមួយ $u_1=3$
   • ផលធៀបរួម $r=\frac{6}{3}=2$
2. ប្រើរូបមន្ត $u_n=u_1{r}^{n-1}$:
   • យើងចង់រក $u_7$ ដូច្នេះ $n=7$។
   • ជំនួសតម្លៃចូលក្នុងរូបមន្ត: $u_7=3\times 2^{7-1}$ $u_7=3\times 2^6$ $u_7=3\times 64$ $u_7=192$ ដូចនេះ តួទី $7$ នៃស្វីតនេះគឺ $192$។

ឧទាហរណ៍ ២: ក្នុងស្វីតធរណីមាត្រមួយ តួទីមួយគឺ $256$ ហើយផលធៀបរួមគឺ $\frac{1}{2}$។ តើតួទី $5$ ស្មើនឹងប៉ុន្មាន?

ដំណោះស្រាយ:

1. កំណត់អត្តសញ្ញាណ $u_1$, $r$ និង $n$:
   • តួទីមួយ $u_1=256$
   • ផលធៀបរួម $r=\frac{1}{2}$
   • លំដាប់នៃតួដែលយើងចង់រក $n=5$
2. ប្រើរូបមន្ត $u_n=u_1{r}^{n-1}$:
   • ជំនួសតម្លៃចូលក្នុងរូបមន្ត: $u_5=256\times {\left(\frac{1}{2}\right)}^{5-1}$ $u_5=256\times {\left(\frac{1}{2}\right)}^4$ $u_5=256\times \frac{1^4}{2^4}$ $u_5=256\times \frac{1}{16}$ $u_5=\frac{256}{16}$ $u_5=16$ ដូចនេះ តួទី $5$ នៃស្វីតនេះគឺ $16$។

ផលបូកនៃស្វីតធរណីមាត្រ (Geometric Series)

ផលបូកនៃ $n$ តួដំបូងនៃស្វីតធរណីមាត្រ ត្រូវបានគេហៅថា ផលបូកធរណីមាត្រ (Geometric Series) ហើយត្រូវបានសម្គាល់ដោយ $S_n$។

ដើម្បីរកផលបូកនៃ $n$ តួដំបូងនៃស្វីតធរណីមាត្រ យើងមានរូបមន្តមួយគឺ៖

$S_n=\frac{u_1(r^n-1)}{r-1}\text{សម្រាប់ }r\ne 1$ (ឬអាចសរសេរ: $S_n=\frac{u_1(1-r^n)}{1-r}$ ដែលងាយស្រួលប្រើពេល $r<1$)

ដែល៖

• $S_n$: គឺជាផលបូកនៃ $n$ តួដំបូងនៃស្វីតធរណីមាត្រ។
• $n$: គឺជាចំនួនតួដែលត្រូវបូក។
• $u_1$: គឺជាតួទីមួយ។
• $r$: គឺជាផលធៀបរួម។

ឧទាហរណ៍សម្រាប់ការប្រើរូបមន្ត $S_n$

ឧទាហរណ៍ ១: រកផលបូកនៃ $5$ តួដំបូងនៃស្វីតធរណីមាត្រ $3,6,12,24,\dots$។

ដំណោះស្រាយ:

1. កំណត់អត្តសញ្ញាណ $u_1$, $r$ និង $n$:
   • តួទីមួយ $u_1=3$
   • ផលធៀបរួម $r=\frac{6}{3}=2$
   • ចំនួនតួដែលត្រូវបូក $n=5$
2. ប្រើរូបមន្ត $S_n=\frac{u_1(r^n-1)}{r-1}$:
   • ជំនួសតម្លៃចូលក្នុងរូបមន្ត: $S_5=\frac{3(2^5-1)}{2-1}$ $S_5=\frac{3(32-1)}{1}$ $S_5=3\times 31$ $S_5=93$ ដូចនេះ ផលបូកនៃ $5$ តួដំបូងនៃស្វីតនេះគឺ $93$។

ឧទាហរណ៍ ២: រកផលបូកនៃ $4$ តួដំបូងនៃស្វីតធរណីមាត្រ $10,5,2.5,\dots$។

ដំណោះស្រាយ:

1. កំណត់អត្តសញ្ញាណ $u_1$, $r$ និង $n$:
   • តួទីមួយ $u_1=10$
   • ផលធៀបរួម $r=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$ (ឬ $0.5$)
   • ចំនួនតួដែលត្រូវបូក $n=4$
2. ប្រើរូបមន្ត $S_n=\frac{u_1(1-r^n)}{1-r}$ (ងាយស្រួលជាងសម្រាប់ $r<1$):
   • ជំនួសតម្លៃចូលក្នុងរូបមន្ត: $S_4=\frac{10\left(1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^4\right)}{1-\frac{1}{2}}$ $S_4=\frac{10\left(1-\frac{1}{16}\right)}{\frac{1}{2}}$ $S_4=\frac{10\left(\frac{16-1}{16}\right)}{\frac{1}{2}}$ $S_4=\frac{10\left(\frac{15}{16}\right)}{\frac{1}{2}}$ $S_4=\frac{150}{16}\times 2$ $S_4=\frac{300}{16}=\frac{75}{4}=18.75$ ដូចនេះ ផលបូកនៃ $4$ តួដំបូងនៃស្វីតនេះគឺ $18.75$។