1 - ស្វីតផ្សេងៗ

នព្វន្ត ស្វីតពិសេស

1. ការគណនាផលបូកតាមវិធីកាត់បន្ថយតួ (Telescoping Sum)

វិធីសាស្ត្រនេះប្រើប្រាស់ការសរសេរបំបែកតួនីមួយៗនៃផលបូកទៅជាផលដកនៃតួពីរផ្សេងគ្នា ដែលធ្វើឱ្យតួជាច្រើនអាចកាត់ចោលគ្នាទៅវិញទៅមក ហើយនៅសល់តែតួដំបូង និងតួចុងក្រោយប៉ុណ្ណោះ។

ឧទាហរណ៍: គេសង្កេតឃើញថា៖ $\frac{1}{1\cdot 2}=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}$ $\frac{1}{2\cdot 3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$ $\frac{1}{3\cdot 4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$ … $\frac{1}{(n-1)\cdot n}=\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$ $\frac{1}{n\cdot (n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$

បូកអង្គនិងអង្គ (ខាងឆ្វេងបូកខាងឆ្វេង ខាងស្តាំបូកខាងស្តាំ) គេបាន: $S=\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+\cdots +\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)$ តួទាំងឡាយដែលនៅចំកណ្តាលនឹងកាត់ចោលគ្នាអស់ (ឧទាហរណ៍ $-\frac{1}{2}$ នឹងបូកនឹង $+\frac{1}{2}$ បាន $0$)។ ដូច្នេះ $S=1-\frac{1}{n+1}$ ។ ហេតុនេះ ផលបូក: $\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+\cdots +\frac{1}{n\cdot (n+1)}=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n+1-1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$

លំហាត់គំរូ: ផលបូកនៃចំនួនគូប

គណនាផលបូក $S=1^3+2^3+3^3+\cdots +n^3$ ។

ចម្លើយ: គេអាចគណនាផលបូកនេះដោយប្រើសមភាព៖ $(k+1{)}^4-k^4=k^4+4k^3+6k^2+4k+1-k^4=4k^3+6k^2+4k+1$

ដោយឱ្យ $k$ យកតម្លៃពី $1$ ដល់ $n$ ៖ $k=1:2^4-1^4=4\times 1^3+6\times 1^2+4\times 1+1$ $k=2:3^4-2^4=4\times 2^3+6\times 2^2+4\times 2+1$ $k=3:4^4-3^4=4\times 3^3+6\times 3^2+4\times 3+1$ … $k=n-1:n^4-(n-1{)}^4=4\times (n-1{)}^3+6\times (n-1{)}^2+4\times (n-1)+1$ $k=n:(n+1{)}^4-n^4=4\times n^3+6\times n^2+4\times n+1$

បូកអង្គនិងអង្គ (ខាងឆ្វេងបូកខាងឆ្វេង ខាងស្តាំបូកខាងស្តាំ) គេបាន: $(n+1{)}^4-1^4=4\times (1^3+2^3+3^3+\cdots +n^3)+6\times (1^2+2^2+3^2+\cdots +n^2)+4\times (1+2+3+\cdots +n)+(1+1+1+\cdots +1\text{ (n ដង)})$ $(n+1{)}^4-1=4S+6{\sum }_{k=1}^n{k}^2+4{\sum }_{k=1}^{n}k+n$

យើងដឹងរូបមន្តសម្រាប់ផលបូកនៃ $k$ និង $k^2$: ${\sum }_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}$ ${\sum }_{k=1}^n{k}^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

ជំនួសចូលទៅក្នុងសមីការ: $(n+1{)}^4-1=4S+6\left(\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\right)+4\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)+n$ $(n+1{)}^4-1=4S+n(n+1)(2n+1)+2n(n+1)+n$ $(n+1{)}^4-1=4S+n(n+1)(2n+1+2)+n$ $(n+1{)}^4-1=4S+n(n+1)(2n+3)+n$ $(n+1{)}^4-1=4S+n(2n^2+5n+3)+n$ $(n+1{)}^4-1=4S+2n^3+5n^2+3n+n$ $(n+1{)}^4-1=4S+2n^3+5n^2+4n$

បោះ $2n^3+5n^2+4n$ ទៅអង្គខាងឆ្វេង: $4S=(n+1{)}^4-1-(2n^3+5n^2+4n)$ $4S=(n^4+4n^3+6n^2+4n+1)-1-2n^3-5n^2-4n$ $4S=n^4+2n^3+n^2$ $4S=n^2(n^2+2n+1)$ $4S=n^2(n+1{)}^2$ $S=\frac{n^2(n+1{)}^2}{4}$

ហេតុនេះ ផលបូក $1^3+2^3+3^3+\cdots +n^3$ គឺ: $S={\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]}^2$

ប្រតិបត្តិ

គណនា $S=12^3+13^3+14^3+\cdots +50^3$ ។ គណនា $S=\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}+\frac{1}{2\cdot 3\cdot 4}+\frac{1}{3\cdot 4\cdot 5}+\cdots +\frac{1}{n\cdot (n+1)\cdot (n+2)}$ ។

2. គណនាផលបូកតាមលំនាំគំរូ (Pattern Recognition)

ចំពោះស្វីតដែលមានតួជាចំនួនគត់ គេអាចគណនាផលបូកវាតាមការសង្កេតលំនាំគំរូ ។

ឧទាហរណ៍: ផលបូកចំនួនសេស $1=1=1^2$ $1+3=4=2^2$ $1+3+5=9=3^2$ $1+3+5+7=16=4^2$ ហេតុនេះ ផលបូក $n$ តួដំបូងនៃចំនួនសេស $1+3+5+\cdots +(2n-1)$ គឺ: $S_n=n^2$

លំហាត់គំរូ: ផលបូក n តួនៃចំនួនគូ

គណនាផលបូក n តួនៃចំនួនគូ $S=2+4+6+\cdots +2n$ ។

ចម្លើយ: គេសង្កេតលំនាំគំរូ: $2=2=1\times 2$ $2+4=6=2\times 3$ $2+4+6=12=3\times 4$ $2+4+6+8=20=4\times 5$ ហេតុនេះ ផលបូក $2+4+6+\cdots +2n$ គឺ: $S_n=n\cdot (n+1)$

ប្រតិបត្តិ

គេឱ្យលំនាំគំរូនៃស្វីតខាងក្រោម ៖ $1=1$ $1+7=8$ $1+7+19=27$ $1+7+19+37=64$ $1+7+19+37+61=125$ គណនាផលបូកនៃស្វីតនេះដែលមាន $10$ តួ ។

3. របៀបកំណត់តួទី n តាមផលសងតួនៃស្វីត (Method of Differences)

គេអាចកំណត់តួទី n របស់ស្វីត $(a_n)$ ដែលពុំមែនជាស្វីតនព្វន្ត ឬជាស្វីតធរណីមាត្រតាមរបៀបដូចខាងក្រោម ៖

ផលសងតួលំដាប់ទី 1 នៃស្វីត (First Order Differences)

ឧទាហរណ៍ 1

កំណត់តួទី n នៃស្វីត $1,3,7,13,21,31,\dots$ ។

ចម្លើយ គេសង្កេតឃើញថាស្វីតនេះមិនមែនជាស្វីតនព្វន្ត (ផលសងមិនថេរ) ហើយក៏មិនមែនជាស្វីតធរណីមាត្រ (ផលធៀបមិនថេរ) ។ នោះគេត្រូវធ្វើផលសងនៃតួបន្តបន្ទាប់គ្នានៃស្វីត $1,3,7,13,21,31,\dots$ គេបានលំនាំគំរូដូចជា:

ផលសងតួនៃស្វីតអាចជួយឱ្យគេរកលំនាំគំរូ ដែលអាចកំណត់តួទូទៅនៃស្វីតបានដូចជា: $a_2-a_1=3-1=2=2\times 1$ $a_3-a_2=7-3=4=2\times 2$ $a_4-a_3=13-7=6=2\times 3$ … $a_{n-1}-a_{n-2}=2\times (n-2)$ $a_n-a_{n-1}=2\times (n-1)$ ។

បូកអង្គនិងអង្គទាំងអស់ (តាំងពី $a_2-a_1$ រហូតដល់ $a_n-a_{n-1}$) គេបាន: $(a_2-a_1)+(a_3-a_2)+(a_4-a_3)+\cdots +(a_n-a_{n-1})$ $=2\times 1+2\times 2+2\times 3+\cdots +2\times (n-1)$

តួជាច្រើននឹងកាត់ចោលគ្នា (ឧទាហរណ៍ $a_2$ នឹងកាត់ចោល $-a_2$): $a_n-a_1=2\times [1+2+3+\cdots +(n-1)]$ $a_n=a_1+2\times \frac{(n-1)n}{2}$ (ប្រើរូបមន្តផលបូកនព្វន្ត $1+2+\cdots +k=\frac{k(k+1)}{2}$) $a_n=1+n(n-1)$ $a_n=1+n^2-n=n^2-n+1$ ។

ដូចនេះ តួទី n នៃស្វីត $1,3,7,13,21,31,\dots$ កំណត់ដោយ $a_n=n^2-n+1$ ។

ជាទូទៅ: គេមានស្វីត $(a_n):a_1,a_2,a_3,\dots ,a_n$ ហើយ $b_1=a_2-a_1$, $b_2=a_3-a_2$, $b_3=a_4-a_3,\dots ,b_{n-1}=a_n-a_{n-1}$ ។ ស្វីត $(b_n):b_1,b_2,b_3,\dots ,b_{n-1}$ ហៅថាផលសងតួលំដាប់ទី 1 នៃស្វីត $(a_n)$ ។

ឧទាហរណ៍ 2: ទម្រង់ទូទៅ

បង្ហាញថា $a_n=a_1+{\sum }_{k=1}^{n-1}{b}_k$ ចំពោះ $n\ge 2$ ។

សម្រាយបញ្ជាក់:

ពីនិយមន័យនៃផលសងតួលំដាប់ទី 1 យើងមាន: $a_2-a_1=b_1$ $a_3-a_2=b_2$ $a_4-a_3=b_3$ … $a_{n-1}-a_{n-2}=b_{n-2}$ $a_n-a_{n-1}=b_{n-1}$

បូកអង្គនិងអង្គ (ខាងឆ្វេងបូកខាងឆ្វេង ខាងស្តាំបូកខាងស្តាំ): $(a_2-a_1)+(a_3-a_2)+(a_4-a_3)+\cdots +(a_n-a_{n-1})$ $=b_1+b_2+b_3+\cdots +b_{n-1}$

តួជាច្រើននៅខាងឆ្វេងនឹងកាត់ចោលគ្នាទៅវិញទៅមក (telecoping sum): $a_n-a_1=b_1+b_2+b_3+\cdots +b_{n-1}$

ចំពោះ $n\ge 2$ គេបាន: $a_n=a_1+(b_1+b_2+b_3+\cdots +b_{n-1})=a_1+{\sum }_{k=1}^{n-1}{b}_k$ (ចំណាំ: ប្រសិនបើ $n=1$, ផលបូក ${\sum }_{k=1}^0{b}_k$ ត្រូវបានកំណត់ជា $0$ ដូច្នេះរូបមន្តនេះក៏អាចប្រើសម្រាប់ $n=1$ បានដែរ គឺ $a_1=a_1+0=a_1$)។

ជាទូទៅ: គេមានស្វីត $(a_n)$ និងស្វីត $(b_n)$ ដែលកំណត់ដោយ $b_n=a_{n+1}-a_n$, សម្រាប់ $n=1,2,3,\dots$។ តួទី n នៃស្វីត $(a_n)$ កំណត់ដោយ: $a_n=a_1+{\sum }_{k=1}^{n-1}{b}_k\text{សម្រាប់ }n\ge 2\text{ (ហើយ }{a}_1\text{ សម្រាប់ }n=1\text{)}$

លំហាត់គំរូ 1

កំណត់តួទី n នៃស្វីត $2,4,8,14,22,32,\dots$ ។

ចម្លើយ តាង $a_n$ ជាតួទី n នៃស្វីតដែលគេឱ្យ ។ ផលសងតួលំដាប់ទី 1 នៃស្វីត $(a_n)$ គឺស្វីត $(b_n)$ ដែលមានតួ $b_n=a_{n+1}-a_n$:

ស្វីត $(b_n):2,4,6,8,10,\dots$ គឺជាស្វីតនព្វន្តដែលមានតួទី 1 ស្មើនឹង $b_1=2$ និងផលសងរួម $d=2$។ ដូច្នេះ តួទូទៅនៃស្វីត $(b_n)$ គឺ $b_n=b_1+(n-1)d=2+2(n-1)=2+2n-2=2n$ ។ ចំពោះ $n\ge 2$ គេបានរូបមន្ត $a_n=a_1+{\sum }_{k=1}^{n-1}{b}_k$: $a_n=2+{\sum }_{k=1}^{n-1}(2k)$ $a_n=2+2{\sum }_{k=1}^{n-1}k$ $a_n=2+2\cdot \frac{(n-1)n}{2}$ (ប្រើរូបមន្តផលបូក $1+2+\cdots +m=\frac{m(m+1)}{2}$ ដោយ $m=n-1$) $a_n=2+n(n-1)$ $a_n=2+n^2-n=n^2-n+2$ ។

ពិនិត្យសម្រាប់ $n=1$: $a_1=1^2-1+2=2$ ដែលពិត។ ដូចនេះ ស្វីត $(a_n)$ មានតួទី n កំណត់ដោយ $a_n=n^2-n+2$ ។

លំហាត់គំរូ 2

ក. កំណត់តួទី n នៃស្វីត $1,2,5,10,17,\dots$ ។ ខ. គណនាផលបូក n តួដំបូងនៃស្វីតនេះ ។

ចម្លើយ ក. កំណត់តួទី n នៃស្វីត $(a_n):1,2,5,10,17,\dots$ តាង $a_n$ ជាតួទី n នៃស្វីតដែលគេឱ្យ $(a_n)$ ។ ស្វីត $(b_n)$ ជាផលសងតួលំដាប់ទី 1 នៃស្វីត $(a_n)$ ដែលមានតួ $b_n$ កំណត់ដោយ $b_n=a_{n+1}-a_n$ ។

ស្វីត $(b_n):1,3,5,7,\dots$ គឺជាស្វីតនព្វន្តដែលមានតួទី 1 ស្មើនឹង $b_1=1$ និងផលសងរួម $d=2$ ។ នោះ $b_n=b_1+(n-1)d=1+2(n-1)=1+2n-2=2n-1$ ។ ចំពោះ $n\ge 2$ គេបាន $a_n=a_1+{\sum }_{k=1}^{n-1}{b}_k$: $a_n=1+{\sum }_{k=1}^{n-1}(2k-1)$ $a_n=1+\left(2{\sum }_{k=1}^{n-1}k-{\sum }_{k=1}^{n-1}1\right)$ $a_n=1+\left(2\cdot \frac{(n-1)n}{2}-(n-1)\right)$ $a_n=1+n(n-1)-(n-1)$ $a_n=1+n^2-n-n+1=n^2-2n+2$ ។

ពិនិត្យសម្រាប់ $n=1$: $a_1=1^2-2(1)+2=1-2+2=1$ ដែលពិត ។ ដូចនេះ $a_n=n^2-2n+2$ ។

ខ. គណនាផលបូក n តួដំបូងនៃស្វីត $(a_n)$ តាង $S_n$ ជាផលបូកនៃស្វីត $(a_n)$ គឺ: $S_n=a_1+a_2+a_3+\cdots +a_n={\sum }_{k=1}^n{a}_k={\sum }_{k=1}^n(k^2-2k+2)$ $S_n={\sum }_{k=1}^n{k}^2-2{\sum }_{k=1}^{n}k+{\sum }_{k=1}^{n}2$

ប្រើរូបមន្តផលបូក: ${\sum }_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}$ ${\sum }_{k=1}^n{k}^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ ${\sum }_{k=1}^{n}c=nc$

$S_n=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}-2\cdot \frac{n(n+1)}{2}+2n$ $S_n=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}-n(n+1)+2n$ $S_n=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}-\frac{6n(n+1)}{6}+\frac{12n}{6}$ $S_n=\frac{n}{6}[(n+1)(2n+1)-6(n+1)+12]$ $S_n=\frac{n}{6}[2n^2+3n+1-6n-6+12]$ $S_n=\frac{n}{6}[2n^2-3n+7]$

ដូចនេះ $S_n=\frac{n(2n^2-3n+7)}{6}$ ។

ប្រតិបត្តិ

1. ក. កំណត់តួទី n នៃស្វីត $4,5,7,10,14,\dots$ ។ ខ. គណនាផលបូក n តួដំបូងនៃស្វីតនេះ ។
2. ក. កំណត់តួទី n នៃស្វីត $3,5,8,12,17,23,\dots$ ។ ខ. គណនាផលបូក n តួដំបូងនៃស្វីតនេះ ។

4. ផលសងតួលំដាប់ទី 2 នៃស្វីត (Second Order Differences)

បើសិនជាស្វីត $(b_n)$ (ផលសងតួលំដាប់ទី 1) នៅតែមិនអាចកំណត់តួទី n របស់វាបានទៀត នោះគេត្រូវធ្វើផលសងលំដាប់តួនៃស្វីត $(b_n)$ បន្តទៀត ដែលគេហៅថា ផលសងតួលំដាប់ទី 2 នៃស្វីត $(a_n)$ ។

ឧទាហរណ៍

កំណត់តួទី n នៃស្វីត $(a_n):1,2,6,15,31,56,\dots$ ។

របៀបទី 1 (ដោយរក $b_n$ ជាមុនសិន)

តាង $a_n$ ជាតួទី n នៃស្វីត $(a_n)$ ។ ស្វីត $(b_n)$ ជាផលសងតួលំដាប់ទី 1 នៃស្វីត $(a_n)$។ ស្វីត $(b_n):1,4,9,16,25,\dots$ នោះគេសង្កេតឃើញថា $b_n=n^2$ ។ ចំពោះ $n\ge 2$ គេបាន $a_n=a_1+{\sum }_{k=1}^{n-1}{b}_k$: $a_n=1+{\sum }_{k=1}^{n-1}{k}^2$ $a_n=1+\frac{(n-1)((n-1)+1)(2(n-1)+1)}{6}$ (ប្រើរូបមន្ត ${\sum }_{k=1}^m{k}^2=\frac{m(m+1)(2m+1)}{6}$ ដោយ $m=n-1$) $a_n=1+\frac{(n-1)n(2n-2+1)}{6}$ $a_n=1+\frac{n(n-1)(2n-1)}{6}$ ។

ពិនិត្យសម្រាប់ $n=1$: $a_1=1+\frac{1(1-1)(2-1)}{6}=1+0=1$ ដែលពិត ។ ដូចនេះ $a_n=1+\frac{n(n-1)(2n-1)}{6}$ ។

របៀបទី 2 (ដោយប្រើផលសងលំដាប់ទី 2 ដោយផ្ទាល់)

តាង $a_n$ ជាតួទី n នៃស្វីត $(a_n)$ ។ ស្វីត $(b_n)$ ជាផលសងតួលំដាប់ទី 1 នៃស្វីត $(a_n)$ ដែលមានតួ n នៃស្វីតគឺ $b_n=a_{n+1}-a_n$ ។ តាង $c_n$ ជាផលសងតួលំដាប់ទី 1 នៃស្វីត $(b_n)$ ហៅថា ផលសងតួលំដាប់ទី 2 នៃស្វីត $(a_n)$ ។ គេបានស្វីត $(c_n):3,5,7,9,\dots$ ។ ស្វីត $(c_n)$ ជាស្វីតនព្វន្តដែលមានតួទី 1 ស្មើនឹង $c_1=3$ និងផលសងរួម $d=2$ ។ ដូច្នេះ $c_n=c_1+(n-1)d=3+2(n-1)=3+2n-2=2n+1$ ។

ចំពោះ $n\ge 2$ គេបាន $b_n=b_1+{\sum }_{k=1}^{n-1}{c}_k$: $b_n=1+{\sum }_{k=1}^{n-1}(2k+1)$ $b_n=1+\left(2{\sum }_{k=1}^{n-1}k+{\sum }_{k=1}^{n-1}1\right)$ $b_n=1+\left(2\cdot \frac{(n-1)n}{2}+(n-1)\right)$ $b_n=1+n(n-1)+(n-1)$ $b_n=1+n^2-n+n-1=n^2$ ។

ពិនិត្យសម្រាប់ $n=1$: $b_1=1^2=1$ ដែលពិត ។ ដូចនេះ $b_n=n^2$ ។

ឥឡូវ យើងមាន $b_n=n^2$ ហើយយើងអាចរក $a_n$ បាន: ចំពោះ $n\ge 2$ គេបាន $a_n=a_1+{\sum }_{k=1}^{n-1}{b}_k$: $a_n=1+{\sum }_{k=1}^{n-1}{k}^2$ $a_n=1+\frac{(n-1)n(2n-1)}{6}$ ។

ពិនិត្យសម្រាប់ $n=1$: $a_1=1+\frac{1(1-1)(2-1)}{6}=1+0=1$ ដែលពិត ។ ដូចនេះ $a_n=1+\frac{n(n-1)(2n-1)}{6}$ ។

ជាទូទៅ: គេមានស្វីត $(a_n)$ ។

• ស្វីត $(b_n)$ កំណត់ដោយ $b_n=a_{n+1}-a_n$, សម្រាប់ $n=1,2,3,\dots$ ហៅថាផលសងតួលំដាប់ទី 1 នៃស្វីត $(a_n)$ ដែលមានតួទី n កំណត់ដោយ $a_n=a_1+{\sum }_{k=1}^{n-1}{b}_k$ ចំពោះ $n\ge 2$ ។
• ស្វីត $(c_n)$ ជាផលសងតួលំដាប់ទី 2 នៃស្វីត $(a_n)$ គឺជាផលសងតួលំដាប់ទី 1 នៃស្វីត $(b_n)$ កំណត់ដោយ $c_n=b_{n+1}-b_n$, សម្រាប់ $n=1,2,3,\dots$ ដែលមានតួទី n នៃស្វីត $(b_n)$ កំណត់ដោយ $b_n=b_1+{\sum }_{k=1}^{n-1}{c}_k$ ចំពោះ $n\ge 2$ ។
• (ប្រសិនបើត្រូវការផលសងលំដាប់ទី 3, ទី 4 … គេបន្តវិធីសាស្ត្រនេះរហូតដល់ផលសងក្លាយជាស្វីតនព្វន្ត ឬស្វីតថេរ) ។